Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
i)
i)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na integral que precisamos avaliar:
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e teste de comparação para determinar se essa integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
Isso nos permite analisar o comportamento da integral em dois intervalos distintos: próximo de 0 e em direção ao infinito.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
.
Para valores de
próximos a 0:
- Denominador:
(pois é muito pequeno). - Numerador:
(já que ).
Então, a função se comporta aproximadamente como
.
Sabemos que a integral
converge e é igual a 2. Como nossa função é comparável a uma função que converge, podemos concluir que a primeira parte da integral também converge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parte:
.
Para valores de
grandes:
- Denominador:
, então . - Numerador:
oscila entre 3 e 5, mas isso não afeta a ordem de decaimento da função.
Portanto, a função se comporta aproximadamente como
.
Sabemos que a integral
converge porque o expoente
. Assim, a segunda parte da nossa integral também é convergente.
Resposta
A integral
é convergente.