Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
i) integral0^infty 4+cos (x)(1+x) raizx d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada na integral que precisamos avaliar: integral0^infty 4+cos (x)(1+x) raizx dx. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e teste de comparação para determinar se essa integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
integral0^infty 4+cos (x)(1+x) raizx dx = integral0^1 4+cos (x)(1+x) raizx dx + integral1^infty 4+cos (x)(1+x) raizx dx
Isso nos permite analisar o comportamento da integral em dois intervalos distintos: próximo de 0 e em direção ao infinito.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: integral0^1 4+cos (x)(1+x) raizx dx.
Para valores de próximos a 0:
  • Denominador: (pois é muito pequeno).
  • Numerador: (já que ).
Então, a função se comporta aproximadamente como .
Sabemos que a integral converge e é igual a 2. Como nossa função é comparável a uma função que converge, podemos concluir que a primeira parte da integral também converge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: integral1^infty 4+cos (x)(1+x) raizx dx.
Para valores de grandes:
  • Denominador: , então .
  • Numerador: oscila entre 3 e 5, mas isso não afeta a ordem de decaimento da função.
Portanto, a função se comporta aproximadamente como .
Sabemos que a integral converge porque o expoente . Assim, a segunda parte da nossa integral também é convergente.

Resposta

A integral integral0^infty 4+cos (x)(1+x) raizx dx é convergente.

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