Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
l) integral0^+infty x^p cos (ln (x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a integral é convergente ou divergente. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar substituições de variáveis e entender quando uma integral converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição para deixar ela mais fácil de trabalhar. Vamos deixar . Isso quer dizer que e, derivando ambos os lados, .

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral0^+infty x^p cos (ln(x)) , dx = integral-infty^+infty e^p t cos(t) cdot e^t dt = integral-infty^+infty e^(p+1)t cos(t) , dt
Isso simplifica a gente para uma integral que envolve exponenciais e cossenos.

Passo 4

Para saber se essa integral converge, precisamos analisar o comportamento da função integranda quando vai para e . A parte vai dominar o comportamento.

Passo 5

Sabemos que a integral converge se o expoente for negativo, ou seja, se . Isso porque a exponencial decai para zero, tornando a integral finita.

Passo 6

No nosso caso, o expoente é p + 1 < 0 implies p < -1 . Então, para que a integral converja, precisamos que:
Se for menor que -1, a exponencial decai e a integral é convergente. Caso contrário, se , a exponencial cresce ou não decai suficientemente, fazendo a integral divergente.

Resposta

A integral é convergente se e divergente caso contrário.

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