Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
l)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a integral
é convergente ou divergente. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar substituições de variáveis e entender quando uma integral converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição para deixar ela mais fácil de trabalhar. Vamos deixar
. Isso quer dizer que
e, derivando ambos os lados,
.
Passo 3
Agora, substituímos na integral original:
Isso simplifica a gente para uma integral que envolve exponenciais e cossenos.
Passo 4
Para saber se essa integral converge, precisamos analisar o comportamento da função integranda
quando
vai para
e
. A parte
vai dominar o comportamento.
Passo 5
Sabemos que a integral
converge se o expoente
for negativo, ou seja, se
. Isso porque a exponencial decai para zero, tornando a integral finita.
Passo 6
No nosso caso, o expoente é
. Então, para que a integral converja, precisamos que:
Se
for menor que -1, a exponencial decai e a integral é convergente. Caso contrário, se
, a exponencial cresce ou não decai suficientemente, fazendo a integral divergente.
Resposta
A integral
é convergente se
e divergente caso contrário.