Calcular
I=integral duplaS f cdot n d S , sendo f=x i+2 j+3 k
e S a superfície exterior da esfera
l r(u, v)=(2 cos u cos v, 2 sen u cos v, 2 sen v), 0 <= u <= 2 pi e -pi2 <= v <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec f = x,vec i + 2,vec j + 3,vec k através da superfície exterior de uma esfera de raio 2. Esse tipo de problema cai no conteúdo de integrais de superfície e podemos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss) para simplificar o cálculo.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
integral duplaSvec fcdotvec n,dS = integral triplaV nablacdotvec f,dV
onde V é o volume fechado pela superfície S.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de vec f:
nablacdotvec f = partialpartial x(x) + partialpartial y(2) + partialpartial z(3) = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 4

O volume de uma esfera de raio 2 é dado por
V = 43pi cdot 2^3 = 32pi3

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo fica
I = integral triplaV 1,dV = V = 32pi3

Resposta

I = 32pi3

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