Utilizando a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(n)
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a primitiva de . O conteúdo é integração por frações parciais e antiderivadas de funções racionais.
Passo 2
Observamos que o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), então não há divisão polinomial. Aplicamos decomposição em frações parciais do tipo
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Igualando coeficientes de , e termo independente surge o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema encontramos A=-2, B=1 e C=3. Logo
t^2+t+1(t+1)^2(t+2)=-2t+1+1(t+1)^2+3t+2
Passo 5
Agora colocamos na integral e aplicamos antiderivadas conhecidas:
integral-2t+1,dt=-2ln|t+1|,
integral1(t+1)^2,dt=-1t+1,
integral3t+2,dt=3ln|t+2|
Passo 6
Somando tudo e incluindo a constante de integração, chegamos à primitiva desejada.