Utilizando a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(n) integral t^2+t+1(t+1)^2(t+2) d t

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a primitiva de t^2+t+1(t+1)^2(t+2). O conteúdo é integração por frações parciais e antiderivadas de funções racionais.

Passo 2

Observamos que o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), então não há divisão polinomial. Aplicamos decomposição em frações parciais do tipo
t^2+t+1(t+1)^2(t+2)=At+1+B(t+1)^2+Ct+2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (t+1)^2(t+2) obtemos
t^2+t+1=A(t+1)(t+2)+B(t+2)+C(t+1)^2
Igualando coeficientes de t^2, t e termo independente surge o sistema
A+C=1, 3A+B+2C=1, 2A+2B+C=1

Passo 4

Resolvendo o sistema encontramos A=-2, B=1 e C=3. Logo
t^2+t+1(t+1)^2(t+2)=-2t+1+1(t+1)^2+3t+2

Passo 5

Agora colocamos na integral e aplicamos antiderivadas conhecidas:
integral-2t+1,dt=-2ln|t+1|,
integral1(t+1)^2,dt=-1t+1,
integral3t+2,dt=3ln|t+2|

Passo 6

Somando tudo e incluindo a constante de integração, chegamos à primitiva desejada.

Resposta

3ln|t+2|-2ln|t+1|-1t+1+C

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