Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
(n) integral raiz1+y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função raiz1+y^2 em relação a y, isto é, integral raiz1+y^2,dy. O conteúdo envolve integrais com substituição trigonométrica e vamos precisar usar a identidade 1+tan^2theta=sec^2theta.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica

Temos

e
.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral raiz1+y^2,dy = integral sectheta cdot sec^2theta,dtheta = integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para calcular integral sec^3theta,dtheta usamos integração por partes. Defina
integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integral secthetatan^2theta,dtheta ,
portanto
tan^2theta=sec^2theta-1. Assim:
integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integral sec^3theta,dtheta + integral sectheta,dtheta
Como 2integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta + integral sectheta,dtheta , segue:
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C,
Reagrupando:
integral sec^3theta,dtheta = 12l(secthetatantheta + lnlvertsectheta+tanthetarvertr) + C
e sabendo que
obtemos

Passo 5

Voltando à variável y: como sectheta=raiz1+y^2 e tantheta=y, a primitiva fica
12l(yraiz1+y^2+lnlvert y+raiz1+y^2rvertr)+C

Resposta

12l(yraiz1+y^2+lnlvert y+raiz1+y^2rvertr)+C

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