Utilizando a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais. Para isso, precisamos entender como quebrar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar dividir $ \frac{5x -13}{(x-3)(x-2)} $ em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas frações mais simples: $ \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2} $, onde A e B são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de A e B que fazem essa igualdade ser verdadeira para todos os valores de x.
Passo 4
Vamos encontrar A e B substituindo valores de x que simplificam a equação. Primeiro, se $ x = 3 $:
Agora, se $ x = 2 $:
Passo 5
Agora que temos A = 2 e B = 3, podemos reescrever a integral:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, a primitiva é: