Utilizando a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(f) integral 5 x-13(x-3)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5x -13(x-3)(x-2) dx. O conteúdo que vamos usar aqui é a Divisão de Polinômios e a Técnica das Frações Parciais. Para isso, precisamos entender como quebrar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar dividir $ \frac{5x -13}{(x-3)(x-2)} $ em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas frações mais simples: $ \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2} $, onde A e B são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por (x-3)(x-2) para eliminar os denominadores, temos:
5x - 13 = A(x - 2) + B(x - 3)
Agora, precisamos encontrar os valores de A e B que fazem essa igualdade ser verdadeira para todos os valores de x.

Passo 4

Vamos encontrar A e B substituindo valores de x que simplificam a equação. Primeiro, se $ x = 3 $:
x = 3
Agora, se $ x = 2 $:
5(3) - 13 = A(3 - 2) + B(0) Rightarrow 15 - 13 = A Rightarrow A = 2

Passo 5

Agora que temos A = 2 e B = 3, podemos reescrever a integral:
integral 5x -13(x-3)(x-2) dx = integral ( 2x-3 + 3x-2 ) dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que integral 1x - a dx = ln|x - a|, então:
integral 2x-3 dx = 2 ln|x - 3|
integral 3x-2 dx = 3 ln|x - 2|

Resposta

Portanto, a primitiva é:
2 ln|x - 3| + 3 ln|x - 2| + C

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