Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(j) integral 1y^2+y raizy d y

Passo 1

O objetivo é calcular a primitiva integral 1y^2+yraizy,dy. O conteúdo envolve integração por substituição de variáveis para eliminar a raiz e, em seguida, uso de frações parciais para integrar a parte racional resultante.

Passo 2

Reescrevendo o integrando temos
1y^2+yraizy=1y^3/2(raizy+1)=y^-3/2raizy+1

Passo 3

Agora fazemos a substituição t=raizy, então y=t^2 e dy=2t,dt. Substituindo na integral:
integral 1y^2+yraizy,dy =integral t^-3t+1cdot2t,dt =integral 2t^2(t+1),dt

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais:
2t^2(t+1)=At+Bt^2+Ct+1

Passo 5

Multiplicando por t^2(t+1) e igualando coeficientes obtém-se o sistema
A+C=0, A+B=0, B=2, logo B=2, A=-2 e C=2. Assim
2t^2(t+1)=-2t+2t^2+2t+1

Passo 6

Integramos termo a termo e voltamos à variável y:
integral 2t^2(t+1),dt =integrall(-tfrac2t+tfrac2t^2+tfrac2t+1r)dt =-2ln|t|-2t+2ln|t+1|+C

Passo 7

Substituindo t=raizy e simplificando os logaritmos:
-2ln|raizy|-2raizy+2ln|raizy+1|+C =2lnl|raizy+1raizyr|-2raizy+C

Resposta

2lnl|tfracraizy+1raizyr|-tfrac2raizy+C

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