Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
(q) integral sen^3(theta)cos ^4(theta) d theta

Passo 1

A gente precisa calcular a integral indefinida integral sin^3thetacos^4theta,dtheta. O conteúdo aqui envolve manipular potências de seno e cosseno com identidades trigonométricas e depois usar substituição de variável para simplificar.

Passo 2

Quando aparece potência ímpar de seno, a ideia é separar um sintheta e usar sin^2theta=1-cos^2theta. Assim:
sin^3thetacos^4theta=sintheta,(1-cos^2theta)cos^4theta=sinthetacos^4theta-sinthetacos^2theta

Passo 3

Perceba que agora temos duas integrais simples: integralsinthetacos^4theta,dtheta-integralsinthetacos^2theta,dtheta. Ambas são ideais para a substituição u=costheta, pois du=-sintheta,dtheta (ou seja, sintheta,dtheta=-du).

Passo 4

Fazendo a troca u=costheta em cada parte, obtemos:
integralsinthetacos^4theta,dtheta=-integral u^-4,du, integralsinthetacos^2theta,dtheta=-integral u^-2,du
Como a integral original era a diferença entre elas, ficamos com
-integral u^-4,du-l(-integral u^-2,dur)= -integral u^-4,du+integral u^-2,du

Passo 5

Agora é só calcular as antiderivadas de potências de u:
  • Para -integral u^-4,du), temos -u^-3/(-3))=u^-3/3.
  • Para integral u^-2,du, sai u^-1/(-1)=-u^-1.
    Somando e incluindo a constante, dá
u^-33-u^-1+C

Passo 6

Voltando para theta (lembre que u=costheta), a solução final é
13cos^3theta-1costheta+C

Resposta

13cos^3theta-1costheta+C

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