Utilizando a equação de Poisson e a equação de Laplace, calcule o potencial gravitacional, \varphi, gerado por una esfera homogénea de raio R, massa M e densidade \rho. Calcule \varphi dentro e fora da esfera. A partir dos resultados, calcule o módulo do campo gravitacional g dentro e fora da esfera.

Passo 1

O enunciado pede para achar o potencial gravitacional \varphi(r) de uma esfera homogênea de raio R, massa M e densidade \rho. Dentro da esfera usamos a equação de Poisson
\nabla^2\varphi = 4\pi G\,\rho,
e fora da esfera usamos a equação de Laplace
\nabla^2\varphi = 0.
Depois, calcularemos o campo gravitacional g(r)=\bigl|\,-\nabla\varphi\bigr| dentro e fora.

Passo 2

Para simetria esférica \varphi=\varphi(r), vale
\nabla^2\varphi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{d\varphi}{dr}\Bigr).
No interior impomos
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{d\varphi}{dr}\Bigr)=4\pi G\,\rho.
Multiplicando por r^2 e integrando em r
r^2\frac{d\varphi}{dr} = \frac{4\pi G\,\rho\,r^3}{3} + A \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\varphi}{dr} = \frac{4\pi G\,\rho\,r}{3} + \frac{A}{r^2}.
Integramos de novo
\phi_{\rm in}(r) = \int\!\frac{4\pi G\,\rho\,r}{3}\,dr \;+\;\int\!A\,r^{-2}dr = \frac{2\pi G\,\rho\,r^2}{3}\;-\;\frac{A}{r}\;+\;B.

Passo 3

Impor regularidade no centro r=0 manda A=0. Assim
\phi_{\rm in}(r)=\frac{2\pi G\,\rho\,r^2}{3}+B.

Passo 4

No exterior \nabla^2\varphi=0 leva à solução
\phi_{\rm out}(r)=-\frac{C}{r}+D.
Como \varphi\to0 quando r\to\infty, temos D=0 e escrevemos C=GM para que a lei de Newton seja recuperada a grandes distâncias. Então
\phi_{\rm out}(r)=-\frac{GM}{r}.

Passo 5

Impor continuidade de \varphi e de d\varphi/dr em r=R. Da derivada obtém-se
\frac{d\phi_{\rm in}}{dr}(R) =\frac{4\pi G\,\rho\,R}{3}, \quad \frac{d\phi_{\rm out}}{dr}(R) =\frac{GM}{R^2},
igualando vem M=\tfrac{4\pi\rho R^3}{3}, consistente com a definição de M. Da continuidade do potencial em r=R encontra-se o valor de B, mas basta agora substituir \rho=3M/(4\pi R^3).

Passo 6

Substituindo \rho e as constantes, obtemos as formas finais
\phi_{\rm out}(r) = -\frac{GM}{r}, \qquad \phi_{\rm in}(r) = -\frac{GM}{2R}\,\Bigl(3 - \frac{r^2}{R^2}\Bigr).

Passo 7

O campo gravitacional é g(r)=-\dfrac{d\varphi}{dr}. Assim
g_{\rm out}(r) = -\frac{d}{dr}\Bigl(-\frac{GM}{r}\Bigr) = \frac{GM}{r^2}, \qquad g_{\rm in}(r) = -\frac{d}{dr}\Bigl[-\frac{GM}{2R}\Bigl(3-\frac{r^2}{R^2}\Bigr)\Bigr] = \frac{GM\,r}{R^3}.

Resposta

\displaystyle \phi_{\rm out}(r)=-\frac{GM}{r},\quad \phi_{\rm in}(r)=-\frac{GM}{2R}\Bigl(3-\frac{r^2}{R^2}\Bigr); \displaystyle g_{\rm out}(r)=\frac{GM}{r^2},\quad g_{\rm in}(r)=\frac{GM\,r}{R^3}.

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