Utilizando a equação de Poisson e a equação de Laplace, calcule o potencial gravitacional, \varphi, gerado por una esfera homogénea de raio R, massa M e densidade \rho. Calcule \varphi dentro e fora da esfera. A partir dos resultados, calcule o módulo do campo gravitacional g dentro e fora da esfera.
Passo 1
O enunciado pede para achar o potencial gravitacional \varphi(r) de uma esfera homogênea de raio R, massa M e densidade \rho. Dentro da esfera usamos a equação de Poisson
\nabla^2\varphi = 4\pi G\,\rho,
e fora da esfera usamos a equação de Laplace
\nabla^2\varphi = 0.
Depois, calcularemos o campo gravitacional g(r)=\bigl|\,-\nabla\varphi\bigr| dentro e fora.
igualando vem M=\tfrac{4\pi\rho R^3}{3}, consistente com a definição de M. Da continuidade do potencial em r=R encontra-se o valor de B, mas basta agora substituir \rho=3M/(4\pi R^3).
Passo 6
Substituindo \rho e as constantes, obtemos as formas finais