Potencial gravitacional devido a un anel circular homogenco de raio a, massal M e densidade \rho. Calcule \varphi no ponto P, em que P é um ponto localizado no plano do anel a uma distância r^{\prime} do seu centro.
a) Mostre que
\varphi=\frac{G M}{a}\left[1+\frac{1}{4}\left(\frac{r^{\prime}}{a}\right)^{2}+\ldots\right] ; r^{\prime} \& a .
b) Obtenha a energia potencial V=-m \varphi. Faça \frac{d V}{d^{\prime}}=0 e mostre que r^{\prime}=0 é um ponto de equilíbrio. Verifique se o equilíbrio é estável ou instável.
c) Mostre que
\varphi=\frac{G M}{r^{\prime}} ; \quad r^{\prime} \gg a
Passo 1
O enunciado pede o potencial gravitacional \varphi no plano de um anel de raio a, massa total M e densidade homogênea, avaliado num ponto P que fica a uma distância r' do centro do anel. Depois devemos (a) obter o desenvolvimento em série para r'\ll a, (b) escrever a energia potencial V=-m\varphi, achar \tfrac{dV}{dr'}=0 e verificar estabilidade em r'=0, e (c) obter o limite \varphi\approx GM/r' para r'\gg a. Para isso vamos usar a expressão integral do potencial de um elemento de massa do anel e fazer expansões binomiais.
Passo 2
Em qualquer ponto do plano do anel, a distância de um elemento dm do anel até P é
d=\sqrt{a^{2}+r'^{2}-2ar'\cos\theta}\,,
onde \theta é o ângulo polar no anel. Como dm=(M/2\pi)\,d\theta, o potencial é
a) \displaystyle \varphi=\frac{GM}{a}\Bigl[1+\tfrac{1}{4}(\tfrac{r'}{a})^{2}+\ldots\Bigr],\;r'\ll a.
b) V=-m\varphi, o único ponto crítico é r'=0 e como \tfrac{d^{2}V}{dr'^{2}}<0 ali o equilíbrio é instável.
c) Para r'\gg a, \displaystyle \varphi\approx\frac{GM}{r'}.