Potencial gravitacional devido a um disco homogènco de raio
, massa
e densidade
.
a) Calcule
em um ponto
localizado ao longo do eixo perpendicular ao disco, que passa pelo centro, a una distancia
do centro do disco. Mostre que
b) Obtenha a energia potencial
. Calcule a força gravitacional no ponto
por meio da equação
(por simetria, só teremos força na direção z). Mostre que
em que
é o módulo da aceleração gravitacional no centro do disco.
a) Calcule
Passo 1
O enunciado pede o potencial gravitacional
de um disco homogêneo de densidade
, raio
e massa total
, num ponto
do eixo a uma distância
do centro. Depois precisamos da energia potencial
de uma massa de prova
em
e da força
. Para isso vamos modelar o disco como a soma de anéis infinitesimais e integrar.
Passo 2
Considere um anel de raio
e espessura
. Sua massa é
O potencial gerado por esse anel em
(distância
) vale
Agora basta integrar
de
a
.
Passo 3
Calculamos
Use a substituição
,
. Então
Portanto
Passo 4
A energia potencial de uma massa
em
é
A força ao longo do eixo
vem de
Como
temos
Passo 5
Use
, de onde
. Definindo
obtemos
Para
, faça a expansão
logo
Resposta
com
.