Potencial gravitacional devido a um disco homogènco de raio a, massa M e densidade \rho.
a) Calcule \varphi em um ponto P localizado ao longo do eixo perpendicular ao disco, que passa pelo centro, a una distancia z do centro do disco. Mostre que
\varphi=2 \pi \rho G\left[\left(a^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}-z\right] .
b) Obtenha a energia potencial V=-m \varphi. Calcule a força gravitacional no ponto P por meio da equação F_{z}=-\frac{d V}{d z} (por simetria, só teremos força na direção z). Mostre que
F_{z}=-m g_{1}+m g_{1}\left(\frac{z}{a}\right)-\ldots ; \quad z \ll a
em que
g_{1}=\frac{2 M G}{a^{2}}
é o módulo da aceleração gravitacional no centro do disco.

Passo 1

O enunciado pede o potencial gravitacional \varphi de um disco homogêneo de densidade \rho, raio a e massa total M, num ponto P do eixo a uma distância z do centro. Depois precisamos da energia potencial V=-m\varphi de uma massa de prova m em P e da força F_{z}=-\tfrac{dV}{dz}. Para isso vamos modelar o disco como a soma de anéis infinitesimais e integrar.

Passo 2

Considere um anel de raio r e espessura dr. Sua massa é
dM = \rho\,(\text{área do anel}) = \rho\,(2\pi r\,dr).á
O potencial gerado por esse anel em P (distância \sqrt{r^2+z^2}) vale
d\varphi = G\,\frac{dM}{\sqrt{r^2 + z^2}} = G\,\frac{\rho\,2\pi r\,dr}{\sqrt{r^2 + z^2}}.
Agora basta integrar r de 0 a a.

Passo 3

Calculamos
\varphi = \int_{0}^{a} G\,\frac{\rho\,2\pi r}{\sqrt{r^2 + z^2}}\,dr = 2\pi \rho G \int_{0}^{a} \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}\,dr.
Use a substituição u = r^2+z^2, du = 2r\,dr. Então
\int_{0}^{a} \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}\,dr = \int_{z^2}^{a^2+z^2} \frac{1}{2\sqrt{u}}\,du = \left[\sqrt{u}\right]_{z^2}^{a^2+z^2} = \sqrt{a^2+z^2}-z.
Portanto
\varphi = 2 \pi \rho G\bigl(\sqrt{a^2+z^2}-z\bigr).

Passo 4

A energia potencial de uma massa m em P é
V = -\,m\,\varphi = -\,m\,2\pi \rho G\bigl(\sqrt{a^2+z^2}-z\bigr).
A força ao longo do eixo z vem de
F_{z} = -\frac{dV}{dz} = m\,\frac{d\varphi}{dz}.
Como
\frac{d\varphi}{dz} = 2\pi \rho G\Bigl(\frac{d}{dz}\sqrt{a^2+z^2}-1\Bigr) = 2\pi \rho G\Bigl(\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}-1\Bigr),
temos
F_{z} = m\,2\pi \rho G\Bigl(\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}-1\Bigr).

Passo 5

Use M=\pi a^2\rho, de onde 2\pi\rho G = 2MG/a^2. Definindo
g_{1} = \frac{2MG}{a^2},
obtemos
F_{z} = m\,g_{1}\Bigl(\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}-1\Bigr).
Para z\ll a, faça a expansão
\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}} = \frac{z}{a}\Bigl(1-\tfrac{z^2}{2a^2}+\cdots\Bigr),
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F_{z} = m\,g_{1}\Bigl(\frac{z}{a}-1 - \frac{z^3}{2a^3}+\cdots\Bigr) = -\,m\,g_{1} + m\,g_{1}\,\frac{z}{a} - \cdots.

Resposta

\varphi(z) = 2\pi \rho G\bigl(\sqrt{a^2+z^2}-z\bigr).
F_{z} = m\,g_{1}\Bigl(\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}-1\Bigr) \approx -m\,g_{1} + m\,g_{1}\,\frac{z}{a} - \ldots,\quad z\ll a,
com g_{1} = \tfrac{2MG}{a^2}.

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