Uma maneira concisa para descrever o trabalho de uma força constante \vec{F} sobre uma partícula que se move num sistema de referência tridimensional é através do produto escalar W=\vec{F} \bullet \Delta \vec{r}, onde W representa o trabalho e \Delta \vec{r} representa o vetor deslocamento (dado pela diferença entre o vetor posição final e o vetor posição inicial). Considere a situação na qual \vec{F}=2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}, com unidades no SI. Determine, em Joules, para cada caso abaixo, o trabalho realizado por esta força considerando que a partícula sofre os seguintes deslocamentos:
Vetor posição inicial \vec{r}_{0}=(0 m, 0 m, 0 m) e vetor posição final \vec{r}=(5 m, 9 m, 2 m).

Passo 1

O enunciado dá uma força constante \vec{F}=2\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k} (unidades do SI) e pede o trabalho realizado por essa força quando a partícula vai da posição inicial \vec{r}_{0}=(0\\ \mathrm{m},\\\ 0\\ \mathrm{m},\\\ 0\\ \mathrm{m}) até a posição final \vec{r}=(5\\ \mathrm{m},\\\ 9\\ \mathrm{m},\\\ 2\\ \mathrm{m}).
Informações relevantes fornecidas:
\vec{F}=2\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k}.
\vec{r}_{0}=(0\\ \mathrm{m},0\\ \mathrm{m},0\\ \mathrm{m}).
\vec{r}=(5\\ \mathrm{m},9\\ \mathrm{m},2\\ \mathrm{m}).
O que é pedido: calcular o trabalho W em Joules usando W=\vec{F}\bullet\Delta\vec{r}.

Passo 2

Definição do deslocamento: o vetor deslocamento \Delta\vec{r} é a diferença entre a posição final e a posição inicial. Em fórmula:
\Delta\vec{r}=\vec{r}-\vec{r}_{0}.
Aqui cada componente do deslocamento é simplesmente a diferença das componentes correspondentes das posições (por exemplo, componente x final menos componente x inicial). Isso dá o vetor que representa quanto a partícula se moveu em cada direção.

Passo 3

Calcular \Delta\vec{r} com os dados do problema. Como a posição inicial é (0,0,0), temos:
\Delta\vec{r}=(5-0,\;9-0,\;2-0)=(5,\;9,\;2)\\ \mathrm{m}.
Portanto a componente x do deslocamento é 5\\ \mathrm{m}, a componente y é 9\\ \mathrm{m} e a componente z é 2\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Definição e interpretação do produto escalar (dot product): para dois vetores em coordenadas cartesianas
\vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), o produto escalar é
\vec{A}\bullet\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Aqui cada A_i e B_i são as componentes dos vetores nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}. Fisicamente, para força e deslocamento, o trabalho também pode ser escrito como
W=F\,\Delta r\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{F} e \Delta\vec{r}. Mas a forma componente a componente é a mais prática quando já temos as componentes numéricas, porque evita ter que calcular \theta.

Passo 5

Aplicando a fórmula componente a componente para W=\vec{F}\bullet\Delta\vec{r}: se \vec{F}=(2,5,3) (em N) e \Delta\vec{r}=(5,9,2) (em m), então
W = 2\cdot 5 + 5\cdot 9 + 3\cdot 2.
Calculemos cada termo separadamente: 2\cdot 5 = 10, 5\cdot 9 = 45, 3\cdot 2 = 6. Portanto
W = 10 + 45 + 6.

Resposta

61 J

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