Utilizando o Exercicio 1 . calcule
integralA x cos 2 x d x d y em que A e o retàngulo 0 <= x <= 1, -pi4 <= y <= pi4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaA xcos(2x),dx,dy
onde A é o retângulo dado por
0 <= x <= 1, -pi4 <= y <= pi4
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para separar as integrais e depois aplicar integração por partes para
integral0^1 xcos(2x),dx.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como o integrando não depende de y, temos
integral duplaA xcos(2x),dx,dy =integralx=0^1l(xcos(2x)integraly=-pi/4^pi/4dyr)dx =l(integral-pi/4^pi/4dyr),integral0^1xcos(2x),dx
Como
integral-pi/4^pi/4dy = pi4-l(-pi4r)=pi2,
a integral dupla vira
pi2,integral0^1xcos(2x),dx

Passo 3

Agora calculemos
I=integral0^1xcos(2x),dx
por integração por partes. Tomamos
u = x, dv = cos(2x),dx
então
du = dx, v = integral cos(2x),dx = tfrac12sin(2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula I = [u,v]0^1 - integral0^1v,du, obtemos
I =l[xcdottfrac12sin(2x)r]0^1 -integral0^1tfrac12sin(2x),dx =12sin(2) -12integral0^1sin(2x),dx
Mas
integral0^1sin(2x),dx =-12l[cos(2x)r]0^1 =-12l(cos(2)-cos(0)r) =-12l(cos2 -1r)
Logo
I =12sin2 -12l(-12(cos2-1)r) =12sin2+14(cos2-1)

Passo 5

Voltando à integral dupla, temos
integral duplaAxcos(2x),dx,dy =pi2,I =pi2l(12sin2+14(cos2-1)r)
Distribuindo,
integral duplaAxcos(2x),dx,dy =pi4sin2+pi8(cos2-1)

Resposta

boxedpi4sin2+pi8(cos2-1)

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