Utilizando o exercício 1, determine a única função y=y(x), x \in \mathbb{R}, que satisfaça as condições dadas.
\frac{d y}{d x}=\sqrt{2} \cdot y e y(0)=-\frac{1}{2}

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial de primeira ordem e variáveis separáveis: \displaystyle \frac{d y}{d x} = \sqrt{2}\,y
com a condição inicial \displaystyle y(0) = -\tfrac12.
Para resolver vamos separar variáveis, integrar e, por fim, ajustar a constante com y(0).

Passo 2

Separe as variáveis colocando y num lado e x no outro:
\frac{1}{y}\,\frac{d y}{d x} = \sqrt{2}
o que equivale a
\frac{1}{y}\,d y = \sqrt{2}\,d x.
Agora integramos ambos os lados:

Passo 3

Integrais dão
\int \frac{1}{y}\,d y = \int \sqrt{2}\,d x \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert = \sqrt{2}\,x + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando, obtemos a solução geral
\lvert y\rvert = e^{C}\,e^{\sqrt{2}\,x},
ou seja
y(x) = A\,e^{\sqrt{2}\,x},
em que A = \pm e^{C} é outra constante.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0) = -\tfrac12:
y(0) = A\,e^{0} = A = -\tfrac12.
Logo a solução particular é
y(x) = -\tfrac12\,e^{\sqrt{2}\,x}.

Resposta

y(x) = -\frac{1}{2}\,e^{\sqrt{2}\,x}.

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