Seja \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva derivável até a 2 .^{\text {a }} ordem, com \left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| \neq 0 no intervalo I. Seja s=\int_{t_{0}}^{t}\left\|\gamma^{\prime}(u)\right\| d u, t \in I, \operatorname{com} t_{0} fixo em I. Sejam, ainda, \vec{T}(t)=\frac{\gamma^{\prime}(t)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|} o versor de \gamma^{\prime}(t) e \vec{t}(s) dada por \vec{t}(s)=\vec{T}(t), onde t=t(s). Mostre que
a) \frac{d \vec{T}}{d t}(t)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
b) \frac{\overrightarrow{d t}}{d s}(s)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{4}}, t=t(s).
c) \left\|\frac{\overrightarrow{d t}}{d s}(s)\right\|_{\text {onde } t=t(s) .}=\sqrt{\frac{d \vec{t}}{d s}(s) \cdot \frac{d \vec{t}}{d s}(s)}=\frac{\sqrt{\left(\left\|\gamma^{\prime \prime}(t)\right\|\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|\right)^{2}-\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)^{2}}}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}},
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma curva \gamma:I\to\mathbb{R}^2 duas vezes diferenciável com \|\gamma'(t)\|\neq0. Definimos o versor tangente
\vec T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|},
e o parâmetro de comprimento de arco
s=\int_{t_0}^t\|\gamma'(u)\|\,du,
de modo que, em termos de s, \vec t(s)=\vec T\bigl(t(s)\bigr).
Para resolver precisamos aplicar a regra do quociente em vetores, a regra da cadeia e usar
Por fim, para a norma de \dfrac{d\vec t}{ds} usamos a identidade \|A-\lambda B\|^2=\|A\|^2-2\lambda(A\cdot B)+\lambda^2\|B\|^2, mas aqui reconhecemos diretamente