Questão 2(3,0) : Considere as curvas
  • \mathcal{C}_{5} é o segmento que une os pontos P_{1}=(0,0,0) e P_{2}=(1,1,0) (no sentido P_{1} \rightarrow P_{2} );
  • \mathcal{C}_{6} é o arco da hélice \vec{r}_{6}(t)=(\cos (t), 1+t, \operatorname{sen}(t)), entre os pontos P_{2}=(1,1,0) e P_{3}=(1,2 \pi+1,0) (no sentido P_{2} \rightarrow P_{3} )
  • \mathcal{C}_{7} é o arco da parábola y=x^{2}, com z=0, entre P_{2}=(1,1,0) e P_{1}=(0,0,0) (no sentido P_{2} \rightarrow P_{1} )
    Determine o trabalho realizado pelo campo de forças
\vec{F}(x, y, z)=\left(\pi \operatorname{sen}(\pi x), 15 x y, z e^{\cos (x y z)}\right)
para deslocar uma partícula através da trajetória fechada \mathcal{C}_{9}=\mathcal{C}_{5} \cup \mathcal{C}_{7}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho \displaystyle W=\oint_{\mathcal C_9}\vec F\cdot d\vec r
para o campo \vec F(x,y,z)=(\pi\sin(\pi x),\,15xy,\,ze^{\cos(xyz)})
ao longo da curva fechada \mathcal C_9=\mathcal C_5\cup\mathcal C_7,
sendo \mathcal C_5 o segmento de (0,0,0) a (1,1,0) e \mathcal C_7 o arco da parábola y=x^2 de (1,1,0) a (0,0,0).

Passo 2

Como em ambas \mathcal C_5 e \mathcal C_7 temos z=0, a terceira componente de \vec F é zero e
W=\oint_{\mathcal C_9}\bigl(F_1\,dx+F_2\,dy\bigr) =\int_{\mathcal C_5}(F_1\,dx+F_2\,dy)+\int_{\mathcal C_7}(F_1\,dx+F_2\,dy).

Passo 3

Parametrizamos \mathcal C_5 por \vec r_5(t)=(t,t,0), t\in[0,1]. Então dx=dt, dy=dt,
F_1=\pi\sin(\pi t), \quad F_2=15\,t\cdot t=15t^2,
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\int_{\mathcal C_5}\vec F\cdot d\vec r =\int_0^1\bigl(\pi\sin(\pi t)+15t^2\bigr)\,dt =\int_0^1\pi\sin(\pi t)\,dt+\int_0^1 15t^2\,dt =2+5=7.

Passo 4

Parametrizamos \mathcal C_7 por \vec r_7(t)=(t,t^2,0), t de 1 a 0. Então dx=dt, dy=2t\,dt,
F_1=\pi\sin(\pi t), \quad F_2=15\,t\cdot t^2=15t^3,
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\int_{\mathcal C_7}\vec F\cdot d\vec r =\int_1^0\Bigl(\pi\sin(\pi t)\cdot1+15t^3\cdot2t\Bigr)\,dt =-\int_0^1\bigl(\pi\sin(\pi t)+30t^4\bigr)\,dt =-(2+6)=-8.

Passo 5

Somando os dois trechos:
W=\int_{\mathcal C_5}\vec F\cdot d\vec r+\int_{\mathcal C_7}\vec F\cdot d\vec r =7+(-8)=-1.

Resposta

O trabalho realizado é -1.

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