Utilizando o Exercício 9, fatore o polinômio do 2 ^circ grau dado.
a) x^2-3 x+2
b) x^2-x-2
c) x^2-2 x+1
d) x^2-6 x+9
e) 2 x^2-3 x
f) 2 x^2-3 x+1
g) x^2-25
h) 3 x^2+x-2
i) 4 x^2-9
j) 2 x^2-5 x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “fatorar” dez polinômios de segundo grau, tipo transformar algo como no produto de dois parenteses. Aqui o conteúdo é fatoração de trinômio quadrático, diferença de quadrados e colocar fator comum em evidência. Vamos precisar usar:
  • Para trinômios “mônicos” ( ), o método soma × produto.
  • Para trinômios não-mônicos ( com ), o método AC (agrupamento).
  • Fator comum (quando der pra tirar algo em cada termo).
  • Diferença de quadrados ( ).

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Trinômio mônico : a gente acha dois números e tais que

    • .
  2. Trinômio não-mônico : usa o método AC: multiplica , encontra dois números que somam e multiplicam , faz agrupamento em 4 termos e fatora por partes.
  3. Fator comum: se todos os termos têm um fator em comum, a gente coloca esse fator na frente.
  4. Diferença de quadrados: toda expressão como vira .

Passo 3

Vamos fatorar os mônicos (onde o coeficiente de é 1):
a)
  • Buscamos e .
  • As opções são e , porque e .
  • Logo .
b)
  • , .
  • São e , já que e .
  • Fica .
c)
  • , .
  • e , pois e o produto é 1.
  • Então .
d)
  • , .
  • São e .
  • Logo .

Passo 4

Agora colocamos fator comum em evidência quando der:
e)
  • Os dois termos têm em comum. Além disso, o coeficiente mínimo é 1, mas o 2 não divide o 3, então tiramos só .
  • .
j)
  • Mesma história: fator comum .
  • Fica .

Passo 5

Agora os não-mônicos que não têm GCF além de 1, usando AC:
f)
  • . Queremos soma e produto . Os números são e .
  • Reescreve .
  • Agrupa: .
  • Fatora cada parte: .
  • Coloca o comum : .
h)
  • . Queremos soma e produto . Os números são e .
  • .
  • Agrupa: .
  • Fatora: .
  • Fator comum : .

Passo 6

Finalmente, as diferenças de quadrados:
g)
  • É .
  • Então .
i)
  • É .
  • Fica .

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)

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