Considere o polinômio do 2 ^circ grau a x^2+b x+c e suponha De. Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
a) se a>0, então a x^2+b x+c>0 para todo x.
b) se a<0, então a x^2+b x+c<0 para todo x.

Passo 1

Então, o enunciado diz: “Temos um polinômio de 2.º grau e sabemos que o discriminante é negativo ( ). Usando o resultado do item (a) do Exercício 8 (que mostra a forma de completar quadrado do polinômio), prove que
a) se , então para todo ;
b) se , então para todo .
Conteúdo: polinômio quadrático, discriminante, completar quadrado. Vamos precisar lembrar como fazer a “completação do quadrado” e usar que um quadrado é sempre .

Passo 2

Do Exercício 8(a) sabemos que
a x^2 + b x + c = a!l(x + tfracb2ar)^2 ;-;De
onde . Esse é o truque de “completar o quadrado”: agrupamos de modo a ter um quadrado perfeito mais um ajuste com .

Passo 3

Vamos analisar o sinal de cada termo nessa forma:
  1. é sempre para qualquer .
  2. O termo depende do sinal de e de .
Lembrando que , logo .

Passo 4

Caso a x^2 + b x + c = underbracea,(x + tfracb2a)^2>=0 ;+;underbracetfrac-De0 >0 :
  • O fator multiplicando o quadrado é positivo. Então
    .
  • . Como e , esse termo também é >0.
Logo
Isso vale para todo .

Passo 5

Caso a x^2 + b x + c = underbracea,(x + tfracb2a)^2<=0 ;+;underbracetfrac-De:
  • Agora porque e o quadrado é .
  • E : aqui mas , então o quociente é <0.
Logo
Também para todo .

Resposta

a) Se , então para todo .
b) Se , então para todo .

Exercícios relacionados