Considere o polinômio do grau e suponha . Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
a) se , então para todo .
b) se , então para todo .
Passo 1
Então, o enunciado diz: “Temos um polinômio de 2.º grau e sabemos que o discriminante é negativo (). Usando o resultado do item (a) do Exercício 8 (que mostra a forma de completar quadrado do polinômio), prove que
a) se , então para todo ;
b) se , então para todo .
Conteúdo: polinômio quadrático, discriminante, completar quadrado. Vamos precisar lembrar como fazer a “completação do quadrado” e usar que um quadrado é sempre .
Passo 2
Do Exercício 8(a) sabemos que
onde . Esse é o truque de “completar o quadrado”: agrupamos de modo a ter um quadrado perfeito mais um ajuste com .
Passo 3
Vamos analisar o sinal de cada termo nessa forma:
é sempre para qualquer .
O termo depende do sinal de e de .
Lembrando que , logo .
Passo 4
Caso :
O fator multiplicando o quadrado é positivo. Então .
Já . Como e , esse termo também é >0.
Logo
Isso vale para todo .
Passo 5
Caso a x^2 + b x + c = underbracea,(x + tfracb2a)^2<=0 ;+;underbracetfrac-De:
Agora porque e o quadrado é .
E : aqui mas , então o quociente é <0.
Logo
Também para todo .
Resposta
a) Se , então para todo .
b) Se , então para todo .