Utilizando a fórmula A(D)=\oint_{\partial D} x d y, calcule a área das seguintes regiões:
D é o triangulo com vértices nos pontos (2,0),(1,3) e (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo de vértices (2,0), (1,3) e (-1,1) usando a fórmula
A(D)=\oint_{\partial D} x\,dy.
O conteúdo usado é o Teorema de Green em sua forma de cálculo de área via fluxo de (0,x).

Passo 2

Escolhemos a orientação positiva (anti-horária) do contorno \partial D. A ordem dos vértices é
(2,0)\;\to\;(1,3)\;\to\;(-1,1)\;\to\;(2,0).
Pode-se verificar que essa orientação é anti-horária pois
\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) = (2\cdot3-1\cdot0)+(1\cdot1-(-1)\cdot3)+(-1\cdot0-2\cdot1)=8>0.

Passo 3

Parametrizamos o primeiro lado E_1\colon(2,0)\to(1,3) por
\mathbf{r}_1(t)=(2-t,\;3t),\quad t\in[0,1],
de onde y' = 3. Assim
\int_{E_1}x\,dy =\int_0^1(2-t)\,3\,dt =3\Bigl[2t-\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_0^1 =\frac{9}{2}.

Passo 4

Para o segundo lado E_2\colon(1,3)\to(-1,1),
\mathbf{r}_2(t)=(1-2t,\;3-2t),\quad y'=-2,
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\int_{E_2}x\,dy =\int_0^1(1-2t)(-2)\,dt =-2\Bigl[t-t^2\Bigr]_0^1 =0.
Para o terceiro lado E_3\colon(-1,1)\to(2,0),
\mathbf{r}_3(t)=(-1+3t,\;1-t),\quad y'=-1,
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\int_{E_3}x\,dy =\int_0^1(-1+3t)(-1)\,dt =\int_0^1(1-3t)\,dt =\Bigl[t-\tfrac{3t^2}{2}\Bigr]_0^1 =-\tfrac12.

Passo 5

Somando as três integrais:
\oint_{\partial D}x\,dy =\frac{9}{2}+0-\frac{1}{2} =4.
Como a orientação é positiva, esse valor é exatamente a área.

Resposta

A área de D é 4.

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