1. Seja \gamma a fronteira da região interior à elipse x^{2}+y^{2}=225 e exterior à circunferência x^{2}+y^{2}=4, com oreintação positiva. Mostre que:
\int_{\gamma}\left(2 x y+\exp \left(x^{2}\right)\right) d x+\left(x^{2}+2 x+\cos \left(y^{2}\right)\right) d y=22 \pi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy,
onde
P(x,y)=2xy+e^{x^{2}},\quad Q(x,y)=x^{2}+2x+\cos(y^{2}),
e \gamma é a curva que percorre positivamente (região à esquerda) a parte interior ao círculo x^{2}+y^{2}=225 e exterior ao círculo x^{2}+y^{2}=4.
O conteúdo é o Teorema de Green, que converte a linha integral num integral dupla sobre a região R entre os dois círculos.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2x+\cos(y^{2})\bigr) =2x+2,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy+e^{x^{2}}\bigr) =2x.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(2x+2)-2x =2.

Passo 4

Assim
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}2\,dA =2\cdot\bigl(\text{área de }R\bigr).á
A região R é o anel entre o círculo de raio 15 e o de raio 2, logo
\text{área}(R) =\pi\bigl(15^{2}-2^{2}\bigr) =\pi(225-4) =221\pi.á

Passo 5

Finalmente
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =2\cdot221\pi =442\pi.

Resposta

\displaystyle 442\pi

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