Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{1}{[u(x)]^{n}}\\, sendo \(u(x) uma função
genérica em x.)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{[u(x)]^{n}}
onde u(x) é uma função genérica de x e n é um constante inteiro. O que vamos usar é a regra do quociente para derivadas e, em seguida, a regra da cadeia para derivar o denominador.

Passo 2

Definimos
g(x)=1 \quad\text{e}\quad h(x)=[u(x)]^{n}.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\biggl(\frac{g}{h}\biggr)' =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^{2}}.

Passo 3

Como g(x)=1 é constante, temos g'(x)=0. Logo
f'(x) =\frac{0\cdot h(x)-1\cdot h'(x)}{[h(x)]^{2}} =-\frac{h'(x)}{[h(x)]^{2}}.

Passo 4

Precisamos agora de h'(x). Como
h(x)=[u(x)]^{n},
aplicamos a regra da cadeia:
h'(x) =n\,[u(x)]^{\,n-1}\,\bigl(u'(x)\bigr).

Passo 5

Substituindo h'(x) em f'(x) e lembrando que h(x)=[u(x)]^{n}, obtemos
f'(x) =-\frac{n\,[u(x)]^{\,n-1}\,u'(x)}{\bigl([u(x)]^{n}\bigr)^{2}} =-\frac{n\,[u(x)]^{\,n-1}\,u'(x)}{[u(x)]^{2n}}
e, ao simplificar as potências,
f'(x) =-\frac{n\,u'(x)}{[u(x)]^{n+1}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{n\,u'(x)}{[u(x)]^{n+1}}.

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