Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada de f(x)=\frac{x^2+1}{x+1} usando a regra do quociente. Vamos precisar da fórmula que dá a derivada de u(x)/v(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2+1,
v(x)=x+1.
A regra do quociente diz que
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=2x,
v'(x)=1.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do quociente:
f'(x)=\frac{2x\,(x+1)-(x^2+1)\cdot1}{(x+1)^2}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
2x(x+1)-(x^2+1)=2x^2+2x-x^2-1=x^2+2x-1.

Passo 6

Logo, a derivada fica
f'(x)=\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.

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