Utilizando as fórmulas de derivação, calcule f^{\prime}(x) para as funções dadas:
f(x)=x^{2} \operatorname{Cotg}(x)-2 x \operatorname{Sen}(x)-2 \operatorname{Cos}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2}\cot(x)-2\,x\sin(x)-2\cos(x).
O conteúdo envolvido é derivação de soma e diferença de termos, usando a regra do produto e as derivadas trigonométricas básicas:
\bigl(\cot(x)\bigr)'=-\csc^{2}(x),
\bigl(\sin(x)\bigr)'=\cos(x),
\bigl(\cos(x)\bigr)'=-\sin(x).

Passo 2

Derivando o primeiro termo x^{2}\cot(x) pela regra do produto, com
u(x)=x^{2},\quad v(x)=\cot(x),
temos
u'(x)=2x, \quad v'(x)=-\csc^{2}(x).
Logo,
\bigl(x^{2}\cot(x)\bigr)'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2x\cot(x)-x^{2}\csc^{2}(x).

Passo 3

Derivando o segundo termo -2\,x\sin(x), aplicamos a constante -2 e a regra do produto em x\sin(x):
\bigl(x\sin(x)\bigr)'=\sin(x)+x\cos(x),
portanto
\bigl(-2\,x\sin(x)\bigr)'=-2\bigl(\sin(x)+x\cos(x)\bigr) =-2\sin(x)-2x\cos(x).

Passo 4

Para o terceiro termo -2\cos(x), usamos a constante e a derivada de \cos(x):
\bigl(-2\cos(x)\bigr)'=-2\bigl(-\sin(x)\bigr)=2\sin(x).

Passo 5

Somando todas as partes:
f'(x)=\bigl(x^{2}\cot(x)\bigr)'-2\bigl(x\sin(x)\bigr)'+\bigl(-2\cos(x)\bigr)'
f'(x) =\bigl(2x\cot(x)-x^{2}\csc^{2}(x)\bigr) +\bigl(-2\sin(x)-2x\cos(x)\bigr) +2\sin(x).
Note que -2\sin(x)+2\sin(x)=0, portanto

Resposta

\boxed{f'(x)=2x\cot(x)-x^{2}\csc^{2}(x)-2x\cos(x).}

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