(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de z=f(x, y) e algumas curvas de nível de f(x, y)=k para alguns valores de k . f(x, y)=\frac{\sin x y}{x y}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos escrito:
Pede-se esboçar o gráfico da superfície z=f(x,y) e algumas curvas de nível f(x,y)=k.
A função dada é
f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{xy}.
Perguntas implícitas que vamos responder ao longo da resolução:
Qual é o domínio natural de f e o comportamento em (0,0)?
Como é a superfície z=f(x,y) qualitativamente (picos, ondulações, simetrias)?
Como são as curvas de nível f(x,y)=k e como esboçá‑las (no papel e no GeoGebra)?
Quais exemplos numéricos de curvas de nível podemos plotar para visualizar bem o comportamento?
Passo 2
Domínio e tratamento do ponto (0,0).
A expressão \dfrac{\sin(xy)}{xy} está mal definida quando xy=0 (aparece 0/0). Portanto, escrevendo a função tal como está, o domínio técnico é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: xy\neq0\}.
Contudo, há um limite importante no ponto (0,0). Faça a mudança de variável
Isso simplifica muito a intuição: a superfície é, essencialmente, o gráfico da função univariada \operatorname{sinc}(u) “transportada” para o plano (x,y) através da família de hipérboles xy=\text{constante}.
\operatorname{sinc} oscila, com zeros em u=n\pi para n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
|\operatorname{sinc}(u)| tende a 0 quando |u|\to\infty, com máximos/minimos decrescentes em amplitude; o primeiro mínimo negativo ocorre aproximadamente em u\approx4{,}493 com valor aproximadamente -0{,}217.
\operatorname{sinc}(u) é uma função par: \operatorname{sinc}(-u)=\operatorname{sinc}(u).
Passo 4
Implicações geométricas e simetrias da superfície.
Simetria em relação à troca de sinais: como depende só de u=xy e \operatorname{sinc} é par, tem-se
f(-x,-y)=f(x,y).
Simetria trocando x e y: f(x,y)=f(y,x).
Cada curva xy=\text{const} (hipérbole rectangular) é uma linha de nível no plano (x,y) quando essa constante é um valor u tal que \operatorname{sinc}(u)=k.
No espaço 3D, as “cristas” e “vales” da superfície seguem essas hipérboles: pensar em “aneles” de nível em u-linha que, quando mapeados para (x,y), viram hipérboles.
Passo 5
Equação das curvas de nível e solução procedimental.
A curva de nível f(x,y)=k é dada por
\frac{\sin(xy)}{xy}=k.
Usando u=xy isso vira a equação unidimensional
\frac{\sin u}{u}=k.
Para um valor fixo de k (com |k|\le 1), as soluções em u são um conjunto discreto infinito de números reais \{u_{k,n}\}_{n\in\mathbb{Z}} (quando existirem), porque a função \operatorname{sinc} oscila e corta uma horizontal y=k em pontos discretos. Para cada solução u_{k,n} temos no plano:
xy = u_{k,n},
ou seja, a curva de nível correspondente é um conjunto de hipérboles (cada u_{k,n} gera duas componentes em sinais opostos de x e y, dependendo do sinal de u_{k,n}).
Observações sobre os sinais:
Se u_{k,n}>0 então as hipérboles estão nos quadrantes I e III.
Se u_{k,n}<0 então as hipérboles estão nos quadrantes II e IV.
Para k=0 as soluções são u=n\pi (n\neq0), portanto as curvas de nível 0 são as hipérboles xy=n\pi. Note que u=0 não corresponde a k=0 (aqui \operatorname{sinc}(0)=1).
Passo 6
Exemplos numéricos de curvas de nível (valores principais e soluções u mais próximos).
Alguns k interessantes para visualizar e a solução u mais próxima a zero (primeira interseção positiva):
k=1: só existe u=0. Então o "nível 1" corresponde ao conjunto limite onde xy\to0 (o pico em (0,0) na superfície).
k=0{,}8: primeira solução positiva aproximada u\approx1{,}12 (aproximadamente). Então curvas de nível principais: xy\approx1{,}12 (hipérboles em QI e QIII), mais outras soluções u maiores onde \operatorname{sinc}(u)=0{,}8.
k=0{,}5: primeira solução positiva aproximada u\approx1{,}8955. Logo hipérboles xy\approx1{,}8955.
k=0: soluções u=n\pi (n=\pm1,\pm2,\dots), logo curvas xy=\pm\pi,\pm2\pi,\dots.
k=-0{,}1: primeira solução positiva aproximada u\approx3{,}50 (aprox.). Logo hipérboles xy\approx3{,}5 (essas geram nível negativo, localizadas em quadrantes II e IV se u<0, mas aqui a solução positiva gera hipérboles em I/III; lembre que há soluções simétricas negativas).
k=-0{,}2: perto do primeiro mínimo negativo; primeira solução positiva próxima u\approx4{,}2 e o primeiro mínimo de \operatorname{sinc} ocorre em u\approx4{,}493 com valor cerca de -0{,}217.
Observação pedagógica: para cada k (fixo), existem muitas soluções u_{k,n}; ao esboçar escolha as primeiras (menores em módulo) para ver as curvas mais próximas da origem.
Passo 7
Como esboçar manualmente (no papel) algumas curvas de nível.
Passo‑a‑passo rápido para um k dado:
Resolva numericamente \dfrac{\sin u}{u}=k para obter os primeiros u (use tabela, calculadora ou aproximação gráfica). Anote as soluções u_{1},u_{2},\dots (em módulo crescente).
Para cada solução u_{j} desenhe a hipérbole xy=u_{j}. No papel, para desenhar xy=c faça:
quando c>0: desenhe ramo no QI (curvando próximo ao eixo e aproximando-se dos eixos quando |x|\to\infty ou |y|\to\infty) e outro simétrico no QIII;
quando c<0: desenhe ramos no QII e QIV.
Faça várias curvas para valores de k positivos e negativos para ver as ondulações (picos correspondem a curvas muito fechadas perto do eixo, zeros ficam onde as hipérboles tocam as posições xy=n\pi).
Dica: desenhe também as hipérboles xy=\pi, xy=2\pi, xy=3\pi para marcar os zeros da função; entre essas hipérboles aparecem os máximos/minimos de \operatorname{sinc}.
Passo 8
Instruções práticas para fazer o esboço no GeoGebra (3D e 2D).
Preparação: usar GeoGebra 3D para ver a superfície e GeoGebra 2D para ver as curvas de nível; ou usar o 3D e projetar as interseções.
Definir a função com cuidado para evitar divisão por zero. No campo de entrada do GeoGebra, defina por exemplo (escrever em GeoGebra com a sintaxe apropriada):
Defina numericamente a função com correção em torno de 0:g(x,y)=\text{If}\big(|x y|<10^{-6},\,1,\,\dfrac{\sin(x y)}{x y}\big).(No GeoGebra procure a função If e use uma tolerância pequena, por ex. 10^{-6}.)
Plotar a superfície (sugestão de intervalo):
Entrada (forma sugestiva, ajustar à sintaxe do GeoGebra): Surface\big((x,y,g(x,y)),\,x,-5,5,\,y,-5,5\big).
Ajuste a malha, cor e transparência para ver melhor as curvas de interseção.
Obter curvas de nível por interseção com planos:
Para um valor k escolha o plano z=k (no GeoGebra crie Plane(0,0,k),(1,0,k),(0,1,k)) ou use comando para plano horizontal.
Interseção entre a superfície e o plano dá uma curva espacial: use Intersect(\text{Surface},\text{Plane}). GeoGebra retorna a curva em 3D.
Projetar essa curva para o plano z=0 (opção de projeção ortogonal ou traçar as coordenadas (x,y)) — isso produz a curva de nível no plano (x,y).
Alternativa direta (se a sua versão do GeoGebra suporta curvas implícitas): desenhe a curva implícita em 2D usando a equação\frac{\sin(xy)}{xy}=k(ou então desenhe as hipérboles xy=u_{k,n} para as soluções u_{k,n} que você numericamente obteve).
Sugestões de configuração:
Intervalo de plot: x,y\in[-5,5] ou [-8,8] para ver várias ondulações.
Para ver bem as oscilações diminuintes use uma visualização com zoom out.
Trace curvas para diversos k: por exemplo k=1,0{,}8,0{,}5,0,-0{,}1,-0{,}2.
Ative “trace” ou “show object” das curvas de interseção para manter visível o contorno projetado.
Passo 9
Descrição qualitativa final do esboço que se obtém (o que você verá).
No 3D: há um pico central em (0,0,1) (o valor máximo 1). A partir daí a superfície apresenta ondulações decrescentes — anéis na variável u — que, ao “mapear” para (x,y) aparecem como famílias de hipérboles.
No plano (x,y) as curvas de nível são hipérboles xy=u para os vários u que resolvem \operatorname{sinc}(u)=k. Para k=0 aparecem as hipérboles xy=n\pi (zeros). Para k próximos de 1 as curvas ficam próximas de xy=0 (ou seja, muito próximas dos eixos), etc.
Visualmente: pense em círculos no gráfico de \operatorname{sinc}(u) que, ao serem transplantados por u=xy, tornam-se hipérbolas tangentes aos eixos e alternando sinal nos quadrantes.
Resposta
A superfície é o “sinc” do produto: z=f(x,y)=\dfrac{\sin(xy)}{xy} (com extensão contínua em (0,0) valendo 1). Como depende apenas de u=xy, as curvas de nível f(x,y)=k reduzem‑se a soluções da equação unidimensional \dfrac{\sin u}{u}=k. Cada solução u_{k,n} dá uma hipérbole no plano:
xy = u_{k,n}.
Exemplos práticos de curvas de nível (primeiras soluções positivas aproximadas):
k=1: u=0 (pico em (0,0)).
k=0{,}8: primeira solução u\approx1{,}12\Rightarrow hipérboles xy\approx1{,}12.
k=0{,}5: primeira solução u\approx1{,}8955\Rightarrow hipérboles xy\approx1{,}8955.
k=-0{,}1: primeira solução positiva u\approx3{,}5\Rightarrow hipérboles xy\approx3{,}5.
k=-0{,}2: primeira solução próxima u\approx4{,}2 (próximo do mínimo \approx-0{,}217 em u\approx4{,}493).
No GeoGebra: defina g(x,y)=\text{If}(|xy|<10^{-6},1,\sin(xy)/(xy)), plote Surface\big((x,y,g(x,y)),x,-5,5,y,-5,5\big), crie planos z=k, faça Intersect(surface,plane) e projete a interseção sobre z=0 para obter as curvas de nível.