Esboce as curvas de nível de
para alguns valores dados de k .
Passo 1
O enunciado pede: esboçar as curvas de nível de
para os valores
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Os valores de nível solicitados são
, e .
Passo 2
O que é uma curva de nível?
Uma curva de nível para um valor fixo é o conjunto de pontos
que satisfazem
Uma curva de nível para um valor fixo
Aqui isso significa resolver
Cada solução dessa equação no plano
é uma curva de nível para o respectivo
.
Passo 3
Resolver explicitamente a equação da curva de nível isolando
. Partindo de
passo a passo:
Portanto, para qualquer
a curva de nível é uma reta de equação
Passo 4
Interpretação geométrica da forma encontrada:
- A inclinação (coeficiente angular) é
. Isso significa que todas as curvas de nível são retas com a mesma inclinação, portanto são retas paralelas. - O termo
é o intercepto no eixo (quando ): o deslocamento vertical depende de .
Passo 5
Calcular as equações específicas para cada
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Escolher pontos fáceis para desenhar cada reta (dois pontos determinam uma reta).
Usar
(intercepto em
) e
(valor simples):
- Para
: dá . Para dá . - Para
: dá . Para dá . - Para
: dá . Para dá .
Também os interceptos em
(quando
) são
:
-
. -
. -
.
Passo 7
Como esboçar no papel (passo a passo prático):
- Desenhe e marque os eixos
e . - Marque os pontos calculados (por exemplo,
e para ; e para ; e para ). - Trace retas passando por cada par de pontos; as três retas serão paralelas com inclinação
. - Identifique cada reta com o valor correspondente de
.
Passo 8
Comentário útil sobre separação entre as curvas: o gradiente
é perpendicular às retas. A distância mínima entre duas retas de níveis
e
é
Por exemplo, a distância entre as retas de
e
é
.