Esboce as curvas de nível de f para alguns valores dados de k .
f(x, y)=3 x-2 y, \quad k=-4,0,6

Passo 1

O enunciado pede: esboçar as curvas de nível de f para os valores k=-4,0,6.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=3x-2y.
  • Os valores de nível solicitados são k=-4, k=0 e k=6.

Passo 2

O que é uma curva de nível?
Uma curva de nível para um valor fixo k é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=k.
Aqui isso significa resolver
3x-2y=k.
Cada solução dessa equação no plano (x,y) é uma curva de nível para o respectivo k.

Passo 3

Resolver explicitamente a equação da curva de nível isolando y. Partindo de
3x-2y=k,
passo a passo:
-2y = k-3x,
y = \frac{3}{2}x - \frac{k}{2}.
Portanto, para qualquer k a curva de nível é uma reta de equação
y=\frac{3}{2}x - \frac{k}{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica da forma encontrada:
  • A inclinação (coeficiente angular) é \dfrac{3}{2}. Isso significa que todas as curvas de nível são retas com a mesma inclinação, portanto são retas paralelas.
  • O termo -\dfrac{k}{2} é o intercepto no eixo y (quando x=0): o deslocamento vertical depende de k.

Passo 5

Calcular as equações específicas para cada k.
Para k=-4:
y=\frac{3}{2}x - \frac{-4}{2}=\frac{3}{2}x+2.
Para k=0:
y=\frac{3}{2}x - \frac{0}{2}=\frac{3}{2}x.
Para k=6:
y=\frac{3}{2}x - \frac{6}{2}=\frac{3}{2}x-3.

Passo 6

Escolher pontos fáceis para desenhar cada reta (dois pontos determinam uma reta).
Usar x=0 (intercepto em y) e x=2 (valor simples):
  • Para k=-4: x=0 \Rightarrow y=2 (0,2). Para x=2 \Rightarrow y=\tfrac{3}{2}\cdot2+2=3+2=5 (2,5).
  • Para k=0: x=0 \Rightarrow y=0 (0,0). Para x=2 \Rightarrow y=\tfrac{3}{2}\cdot2=3 (2,3).
  • Para k=6: x=0 \Rightarrow y=-3 (0,-3). Para x=2 \Rightarrow y=\tfrac{3}{2}\cdot2-3=3-3=0 (2,0).
Também os interceptos em x (quando y=0) são x=\dfrac{k}{3}:
  • k=-4 \Rightarrow x=-\dfrac{4}{3}.
  • k=0 \Rightarrow x=0.
  • k=6 \Rightarrow x=2.

Passo 7

Como esboçar no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhe e marque os eixos x e y.
  2. Marque os pontos calculados (por exemplo, (0,2) e (2,5) para k=-4; (0,0) e (2,3) para k=0; (0,-3) e (2,0) para k=6).
  3. Trace retas passando por cada par de pontos; as três retas serão paralelas com inclinação \tfrac{3}{2}.
  4. Identifique cada reta com o valor correspondente de k.

Passo 8

Comentário útil sobre separação entre as curvas: o gradiente \nabla f=(3,-2) é perpendicular às retas. A distância mínima entre duas retas de níveis k_1 e k_2 é
\frac{|k_2-k_1|}{\|\nabla f\|}=\frac{|k_2-k_1|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{|k_2-k_1|}{\sqrt{13}}.
Por exemplo, a distância entre as retas de k=-4 e k=0 é \dfrac{4}{\sqrt{13}}.

Resposta

y=\dfrac{3}{2}x+2 para k=-4
y=\dfrac{3}{2}x para k=0
y=\dfrac{3}{2}x-3 para k=6

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