(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de
e algumas curvas de nível de
para alguns valores de k .
Passo 1
O enunciado pede que se esbocem (1) o gráfico da superfície
e (2) algumas curvas de nível
para valores de
, onde a função é
Informações dadas e pedidos explícitos:
- Está dada a fórmula de
. - Precisa-se esboçar a superfície
. - Precisa-se esboçar/entender curvas de nível
para alguns (sugestão: escolher representativos e explicar como obter/traçar no GeoGebra).
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Análise básica da função (o que já ajuda a esboçar):
- Domínio: todos os pares
(exponenciais estão definidas sempre). - Simetrias:
é par em e em : Logo superfície e curvas de nível são simétricas em relação aos planos e . - Valores extremos e alcance:
então O máximo (único ponto de máximo). Não existe mínimo atingido (infimum quando ou ).
Esses fatos já indicam que a superfície é uma “colina” com topo emque decai para quando se afastam as coordenadas.
Passo 3
Seções transversais (essenciais para esboçar a superfície):
- Corte por
: é uma curva do tipo sino com máximo em e que tende a quando . - Corte por
: é também um sino (mais estreito por causa do fator ) com máximo em e que tende a quando .
Observação importante: em direções em que uma coordenada vai a infinito mas a outra é fixa, a superfície tende a valores entree dependendo da coordenada que vai a infinito, por isso a forma não é um único “cúpula isotrópica” — é soma de dois “gaussianos” com larguras diferentes: mais larga em (fator no expoente) e mais estreita em (fator ).
Passo 4
Expansão quadrática perto do topo (útil para esboçar curvas de nível próximas ao máximo):
- Fazer série de Taylor de segunda ordem em
: então, para pequenos, Assim, curvas de nível próximas a com são aproximadas por elipses Isso mostra que, perto do topo, as curvas de nível são elipses centradas na origem, mais “apertadas” na direção .
Passo 5
Equação explícita das curvas de nível e condição de existência:
- De
obtemos Isolando : Aplicando logaritmo, para pontos reais válidos: que só faz sentido quando Essas duas desigualdades equivalem a Portanto deve satisfazer (alcance de ), e para cada as abscissas possíveis obedecem às desigualdades acima. Isso determina se a curva é fechada ou não (ver passo seguinte).
Passo 6
Classificação das curvas de nível por intervalos de
(resumo prático para desenhar):
-
: ponto único (máximo). -
: as condições implicam que e o que dá um intervalo fechado de : Logo as curvas de nível são laços fechados (uma elipse alongada) ao redor da origem. Elas interceptam os eixos:
-
: limite entre os dois comportamentos. A equação fica Não há ponto na origem (pois em o RHS e tem solução apenas em ). As curvas de nível para são ramos não-fechados que para tendem a e, quando , vão para (ramos que “sobem” à medida que se aproximam do eixo ). -
: agora e a condição relevante é , ou seja Assim as curvas de nível existem apenas para valores de maiores que um limiar: elas consistem em duas componentes simétricas (uma à direita e outra à esquerda), não cruzam os eixos e são abertas no sentido que, quando , tende a uma constante Em outras palavras, para cada ramo tende a duas horizontais simétricas em quando .
Passo 7
Exemplos numéricos (esboço e valores úteis para desenhar no GeoGebra):
- Pegando
(caso , curva fechada): então
Curva fechada, elíptica, pequena ao redor da origem.
- Pegando
:
Curva fechada maior que a anterior.
- Pegando
: curva aberta que se aproxima de quando e sobe para quando . - Pegando
(caso ): logo as curvas existem apenas para e, quando , Portanto surgem duas componentes simétricas afastadas do centro. - Pegando um
pequeno, por exemplo : Isso ajuda a desenhar ramos que ficam longe do centro.
Passo 8
Como traçar no GeoGebra (passo a passo prático e simples):
- Abra a vista 3D (3D Graphics).
- Insira a superfície (na Caixa de Entrada do GeoGebra 3D) com um comando tipo:
(ou digite na entrada 3D dependendo da versão). - Para curvas de nível: crie um slider chamado
variando em . - Crie o plano horizontal correspondente a cada nível, por exemplo o plano
. Em GeoGebra pode-se criar o plano com três pontos: por exemplo - Use o comando Intersect (Intersecção) entre a superfície e esse plano para obter a curva de nível em 3D:
O resultado é a interseção espacial; para ver a projeção no plano ative a opção de projetar a curva no plano ou copie a equação implícita e faça a curva implícita em 2D. - Alternativa (2D): na vista 2D você pode desenhar a curva implícita
diretamente (com a ferramenta “Implicit Curve” ou inserindo a equação) e trocar o valor do slider para observar as mudanças. - Sugestão prática: escolha os
acima ( , , , , ) e anime o slider para ver como as curvas mudam de fechadas para abertas.
Passo 9
Dicas para esboço à mão (sem GeoGebra), usando tudo o que foi dito:
- Marque o ponto máximo
. - Desenhe cortes em
e (sinos) para guiar a forma da superfície. - Para curvas de nível altas (
perto de ), desenhe elipses centradas em usando a aproximação . - Para
desenhe laços elípticos com interceptos calculados por e . - Para
lembre-se das duas componentes (se ) ou ramos abertos (se ) e das assíntotas horizontais em quando .
Passo 10
Resumo prático para entregar com o esboço:
- Faça um esboço 3D mostrando uma colina com topo em
e decaindo para . - Ao lado, desenhe plantas (projeção no plano
) com curvas de nível para os sugeridos ( ), rotulando as principais interseções e mostrando a transição de curvas fechadas (para ) para curvas abertas/duas componentes (para ). - No GeoGebra, use a interseção superfície/plano horizontal (com slider
) para visualizar e exportar imagens.
Resposta
Descrição da superfície: superfície em forma de colina com máximo global
e
; simétrica em
e
; decai para
quando
ou
.
Curvas de nível (classificação):
-
: ponto único . -
: curvas fechadas em forma de laço (aproximadamente elipses), com interseções nos eixos -
: curvas não-fechadas; ramos que vão para quando e que se aproximam de quando . -
: duas componentes simétricas (à esquerda e à direita), existentes apenas para e com assíntotas horizontais quando .
Comandos/ideia prática para GeoGebra:
- Desenhar superfície:
. - Criar slider
, plano (por exemplo ) e usar para obter a curva de nível correspondente.