(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de z=f(x, y) e algumas curvas de nível de f(x, y)=k para alguns valores de k .
f(x, y)=e^{-x^{2}}+e^{-4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se esbocem (1) o gráfico da superfície z=f(x,y) e (2) algumas curvas de nível f(x,y)=k para valores de k, onde a função é
f(x,y)=e^{-x^{2}}+e^{-4y^{2}}.
Informações dadas e pedidos explícitos:
  • Está dada a fórmula de f.
  • Precisa-se esboçar a superfície z=f(x,y).
  • Precisa-se esboçar/entender curvas de nível \{(x,y):f(x,y)=k\} para alguns k (sugestão: escolher k representativos e explicar como obter/traçar no GeoGebra).
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Análise básica da função (o que já ajuda a esboçar):
  • Domínio: todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 (exponenciais estão definidas sempre).
  • Simetrias: f é par em x e em y: f(-x,y)=f(x,y),\qquad f(x,-y)=f(x,y).Logo superfície e curvas de nível são simétricas em relação aos planos x=0 e y=0.
  • Valores extremos e alcance: e^{-x^{2}}\in(0,1],\qquad e^{-4y^{2}}\in(0,1],então 0< f(x,y)\le 2.O máximo f(0,0)=2 (único ponto de máximo). Não existe mínimo atingido (infimum 0 quando |x| ou |y|\to\infty).
    Esses fatos já indicam que a superfície é uma “colina” com topo em (0,0,2) que decai para 0 quando se afastam as coordenadas.

Passo 3

Seções transversais (essenciais para esboçar a superfície):
  • Corte por y=0: z=f(x,0)=e^{-x^{2}}+1,é uma curva do tipo sino com máximo 2 em x=0 e que tende a 1 quando |x|\to\infty.
  • Corte por x=0: z=f(0,y)=1+e^{-4y^{2}},é também um sino (mais estreito por causa do fator 4) com máximo 2 em y=0 e que tende a 1 quando |y|\to\infty.
    Observação importante: em direções em que uma coordenada vai a infinito mas a outra é fixa, a superfície tende a valores entre 1 e 0 dependendo da coordenada que vai a infinito, por isso a forma não é um único “cúpula isotrópica” — é soma de dois “gaussianos” com larguras diferentes: mais larga em x (fator 1 no expoente) e mais estreita em y (fator 4).

Passo 4

Expansão quadrática perto do topo (útil para esboçar curvas de nível próximas ao máximo):
  • Fazer série de Taylor de segunda ordem em (0,0): e^{-x^{2}} \approx 1 - x^{2},\qquad e^{-4y^{2}} \approx 1 - 4y^{2},então, para (x,y) pequenos, f(x,y)\approx 2 - x^{2} - 4y^{2}.Assim, curvas de nível próximas a k com k\lesssim 2 são aproximadas por elipses x^{2}+4y^{2}=2-k.Isso mostra que, perto do topo, as curvas de nível são elipses centradas na origem, mais “apertadas” na direção y.

Passo 5

Equação explícita das curvas de nível e condição de existência:
  • De f(x,y)=k obtemos e^{-x^{2}}+e^{-4y^{2}}=k.Isolando e^{-4y^{2}}: e^{-4y^{2}}=k-e^{-x^{2}}.Aplicando logaritmo, para pontos reais válidos: y^{2}=-\tfrac{1}{4}\ln\!\bigl(k-e^{-x^{2}}\bigr),que só faz sentido quando 0<k-e^{-x^{2}}\le 1.Essas duas desigualdades equivalem a e^{-x^{2}}<k\quad\text{e}\quad e^{-x^{2}}\ge k-1.Portanto k deve satisfazer 0<k\le 2 (alcance de f), e para cada k as abscissas x possíveis obedecem às desigualdades acima. Isso determina se a curva é fechada ou não (ver passo seguinte).

Passo 6

Classificação das curvas de nível por intervalos de k (resumo prático para desenhar):
  • k=2: ponto único (0,0) (máximo).
  • 1<k<2: as condições implicam que k-1\in(0,1) e k-1 \le e^{-x^{2}}<k,o que dá um intervalo fechado de x: |x|\le\sqrt{-\ln(k-1)}.Logo as curvas de nível são laços fechados (uma elipse alongada) ao redor da origem. Elas interceptam os eixos: \text{interseção com }y=0:\quad x=\pm\sqrt{-\ln(k-1)},çã
\text{interseção com }x=0:\quad y=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{-\ln(k-1)}.çã
  • k=1: limite entre os dois comportamentos. A equação fica e^{-4y^{2}}=1-e^{-x^{2}}.Não há ponto na origem (pois em x=0 o RHS =0 e e^{-4y^{2}}=0 tem solução apenas em y\to\infty). As curvas de nível para k=1 são ramos não-fechados que para x\to\infty tendem a y=0 e, quando x\to 0, vão para y\to\infty (ramos que “sobem” à medida que se aproximam do eixo x=0).
  • 0<k<1: agora k-1\le 0 e a condição relevante é e^{-x^{2}}<k, ou seja |x|>\sqrt{-\ln k}.Assim as curvas de nível existem apenas para valores de |x| maiores que um limiar: elas consistem em duas componentes simétricas (uma à direita e outra à esquerda), não cruzam os eixos e são abertas no sentido que, quando |x|\to\infty, y tende a uma constante |y|\to\sqrt{-\tfrac{1}{4}\ln k}.Em outras palavras, para k<1 cada ramo tende a duas horizontais simétricas em y quando x\to\pm\infty.

Passo 7

Exemplos numéricos (esboço e valores úteis para desenhar no GeoGebra):
  • Pegando k=1{,}8 (caso 1<k<2, curva fechada): k-1=0{,}8,\quad -\ln(0{,}8)\approx 0{,}22314,então x_{\text{intercept}}=\pm\sqrt{0{,}22314}\approx\pm0{,}4726,
y_{\text{intercept}}=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{0{,}22314}\approx\pm0{,}2363.
Curva fechada, elíptica, pequena ao redor da origem.
  • Pegando k=1{,}2: k-1=0{,}2,\quad -\ln(0{,}2)\approx1{,}6094,
x_{\text{intercept}}\approx\pm1{,}2686,\qquad y_{\text{intercept}}\approx\pm0{,}6343.
Curva fechada maior que a anterior.
  • Pegando k=1: curva aberta que se aproxima de y=0 quando |x|\to\infty e sobe para y\to\infty quando x\to 0.
  • Pegando k=0{,}5 (caso 0<k<1): \sqrt{-\ln(0{,}5)}\approx0{,}8326,logo as curvas existem apenas para |x|>0{,}8326 e, quando |x|\to\infty, |y|\to\sqrt{-\tfrac{1}{4}\ln(0{,}5)}\approx0{,}4163.Portanto surgem duas componentes simétricas afastadas do centro.
  • Pegando um k pequeno, por exemplo k=0{,}05: \sqrt{-\ln(0{,}05)}\approx1{,}7308,\qquad |y|\to\sqrt{-\tfrac{1}{4}\ln(0{,}05)}\approx0{,}8654.Isso ajuda a desenhar ramos que ficam longe do centro.

Passo 8

Como traçar no GeoGebra (passo a passo prático e simples):
  1. Abra a vista 3D (3D Graphics).
  2. Insira a superfície (na Caixa de Entrada do GeoGebra 3D) com um comando tipo: \text{Surface}\bigl(e^{-x^{2}}+e^{-4y^{2}},x,-3,3,y,-3,3\bigr).(ou digite e^{-x^{2}}+e^{-4y^{2}} na entrada 3D dependendo da versão).
  3. Para curvas de nível: crie um slider chamado k variando em (0,2].
  4. Crie o plano horizontal correspondente a cada nível, por exemplo o plano z=k. Em GeoGebra pode-se criar o plano com três pontos: por exemplo \text{Plane}\bigl((0,0,k),(1,0,k),(0,1,k)\bigr).
  5. Use o comando Intersect (Intersecção) entre a superfície e esse plano para obter a curva de nível em 3D: \text{Intersect}(\text{Surface1},\text{Plane1}).O resultado é a interseção espacial; para ver a projeção no plano xy ative a opção de projetar a curva no plano xy ou copie a equação implícita e faça a curva implícita em 2D.
  6. Alternativa (2D): na vista 2D você pode desenhar a curva implícita e^{-x^{2}}+e^{-4y^{2}}=kdiretamente (com a ferramenta “Implicit Curve” ou inserindo a equação) e trocar o valor do slider k para observar as mudanças.
  7. Sugestão prática: escolha os k acima ( 1{,}8, 1{,}2, 1, 0{,}5, 0{,}05) e anime o slider para ver como as curvas mudam de fechadas para abertas.

Passo 9

Dicas para esboço à mão (sem GeoGebra), usando tudo o que foi dito:
  • Marque o ponto máximo (0,0,2).
  • Desenhe cortes em y=0 e x=0 (sinos) para guiar a forma da superfície.
  • Para curvas de nível altas ( k perto de 2 ), desenhe elipses centradas em 0 usando a aproximação x^{2}+4y^{2}=2-k.
  • Para 1<k<2 desenhe laços elípticos com interceptos calculados por x=\pm\sqrt{-\ln(k-1)} e y=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{-\ln(k-1)}.
  • Para k\le 1 lembre-se das duas componentes (se k<1) ou ramos abertos (se k=1) e das assíntotas horizontais em |y|=\sqrt{-\tfrac{1}{4}\ln k} quando |x|\to\infty.

Passo 10

Resumo prático para entregar com o esboço:
  • Faça um esboço 3D mostrando uma colina com topo em z=2 e decaindo para 0.
  • Ao lado, desenhe plantas (projeção no plano xy) com curvas de nível para os k sugeridos ( 1{,}8,\;1{,}2,\;1,\;0{,}5,\;0{,}05), rotulando as principais interseções e mostrando a transição de curvas fechadas (para k>1) para curvas abertas/duas componentes (para k\le1).
  • No GeoGebra, use a interseção superfície/plano horizontal (com slider k) para visualizar e exportar imagens.

Resposta

Descrição da superfície: superfície em forma de colina com máximo global f(0,0)=2 e 0< f(x,y)\le 2; simétrica em x e y; decai para 0 quando |x| ou |y|\to\infty.
Curvas de nível (classificação):
  • k=2: ponto único (0,0).
  • 1<k<2: curvas fechadas em forma de laço (aproximadamente elipses), com interseções nos eixos x=\pm\sqrt{-\ln(k-1)},\qquad y=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{-\ln(k-1)}.
  • k=1: curvas não-fechadas; ramos que vão para y\to\infty quando x\to 0 e que se aproximam de y=0 quando |x|\to\infty.
  • 0<k<1: duas componentes simétricas (à esquerda e à direita), existentes apenas para |x|>\sqrt{-\ln k},e com assíntotas horizontais |y|\to\sqrt{-\tfrac{1}{4}\ln k} quando |x|\to\infty.
Comandos/ideia prática para GeoGebra:
  • Desenhar superfície: \text{Surface}\bigl(e^{-x^{2}}+e^{-4y^{2}},x,-3,3,y,-3,3\bigr).
  • Criar slider k\in(0,2], plano z=k (por exemplo \text{Plane}((0,0,k),(1,0,k),(0,1,k))) e usar \text{Intersect}(\text{Surface},\text{Plane}) para obter a curva de nível correspondente.

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