Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(g) integral(theta^2+2 theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte integral para resolver usando a Técnica de Integração por Partes:
integral(theta^2+2 theta) cos (theta) d theta
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da expressão que vamos derivar e integrar. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da função será $ u $ e qual será $ dv $. Uma boa regra é escolher $ u $ como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
  • $ u = \theta^{2} + 2\theta $
  • $ dv = \cos(\theta) d\theta $

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $ e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
  • Derivando $ u $:
    u
  • Integrando $ dv $:
    du

Passo 4

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos aplicar isso com os valores que encontramos:
integral(theta^2+2 theta) cos (theta) d theta = (theta^2 + 2theta) sin(theta) - integral sin(theta) (2theta + 2) dtheta

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral:
integral sin(theta) (2theta + 2) dtheta
Vamos de novo usar integração por partes. Vamos escolher:
  • $ u = 2\theta + 2 $
  • $ dv = \sin(\theta) d\theta $

Passo 6

Derivando $ u $ e integrando $ dv $:
  • Derivando $ u $:
    u
  • Integrando $ dv $:
    dv

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
integral sin(theta) (2theta + 2) dtheta = (2theta + 2)(- cos(theta)) - integral (-cos(theta)) cdot 2 dtheta
Simplificando:
= - (2theta + 2) cos(theta) + 2 integral cos(theta) dtheta

Passo 8

Agora, resolvemos a última integral:
2 integral cos(theta) dtheta = 2 sin(theta)
Então, substituindo de volta:
- (2theta + 2) cos(theta) + 2 sin(theta)

Passo 9

Voltando à nossa expressão original:
integral(theta^2+2 theta) cos (theta) d theta = (theta^2 + 2theta) sin(theta) - [ - (2theta + 2) cos(theta) + 2 sin(theta) ]
Simplificando os sinais:
= (theta^2 + 2theta) sin(theta) + (2theta + 2) cos(theta) - 2 sin(theta)

Resposta

Então, a primitiva é:
integral(theta^2+2 theta) cos (theta) d theta = (theta^2 + 2theta - 2) sin(theta) + (2theta + 2) cos(theta) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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