Utilizando a Técnica de Integração por Partes, determine as primitivas
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte integral para resolver usando a Técnica de Integração por Partes:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da expressão que vamos derivar e integrar. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte da função será $ u $ e qual será $ dv $. Uma boa regra é escolher $ u $ como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
- $ u = \theta^{2} + 2\theta $
- $ dv = \cos(\theta) d\theta $
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u $ para encontrar $ du $ e integrar $ dv $ para encontrar $ v $:
-
Derivando $ u $:
-
Integrando $ dv $:
Passo 4
A fórmula da integração por partes é:
Vamos aplicar isso com os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral:
Vamos de novo usar integração por partes. Vamos escolher:
- $ u = 2\theta + 2 $
- $ dv = \sin(\theta) d\theta $
Passo 6
Derivando $ u $ e integrando $ dv $:
-
Derivando $ u $:
-
Integrando $ dv $:
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, resolvemos a última integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 9
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando os sinais:
Resposta
Então, a primitiva é:
Onde $ C $ é a constante de integração.