Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
(o) integral cotg^3(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cot^3(theta),dtheta. O assunto é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição de variáveis. Vamos usar a identidade cot^2(theta)=csc^2(theta)-1 e escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Reescrevemos a integranda aplicando a identidade em bloco:

Passo 3

integral cot^3(theta),dtheta = integral cot(theta)l(csc^2(theta)-1r),dtheta = integrall(cot(theta),csc^2(theta) - cot(theta)r),dtheta

Passo 4

Separamos em duas integrais:
integral cot(theta),csc^2(theta),dtheta ;- integral cot(theta),dtheta

Passo 5

Para a primeira parte, fazemos a substituição u=cot(theta). Então:
du = -csc^2(theta),dtheta
Logo:
integral cot(theta),csc^2(theta),dtheta = integral u,(-du) = -integral u,du = -u^22 = -cot^2(theta)2

Passo 6

Para a segunda parte, usamos a integral padrão de cotangente:
integral cot(theta),dtheta = lnl|sin(theta)r| + C1

Passo 7

Juntando as duas partes e absorvendo constantes em um único C, obtemos:
-cot^2(theta)2 - lnl|sin(theta)r| + C

Resposta

-tfrac12cot^2(theta) - ln|sin(theta)| + C

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