Utilizando Identidades Trigonométricas e Substituição de Variáveis calcule as integrais indefinidas a seguir.
(j) integral tan (t) sec ^3(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral tan(t),sec^3(t),dt. Vamos usar conteúdo de identidades trigonométricas e substituição de variáveis, em especial o fato de que a derivada de sec(t) é sec(t)tan(t).

Passo 2

Perceba que podemos separar o integrando de modo a isolar um sec(t)tan(t),dt, que lembra a derivada de sec(t):
Reescrevemos
tan(t),sec^3(t) = sec^2(t) cdot l(sec(t)tan(t)r)

Passo 3

Fazendo a substituição
u = sec(t),
então
du = sec(t)tan(t),dt
E como sec^2(t)=u^2, a integral fica
integral tan(t),sec^3(t),dt = integral u^2,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
integral u^2,du = u^33 + C

Passo 5

Voltando à variável original t com u=sec(t), obtemos
sec^3(t)3 + C

Resposta

sec^3(t)3 + C

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