Utilizando integral dupla calcular a área do quadrîátero de vértices (0,1),(0,4),(4,2) e (4,7).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de um quadrilátero cujos vértices são (0,1), (0,4), (4,2) e (4,7) usando integral dupla. O conteúdo da matéria é cálculo de área por meio de integrais iteradas, e vamos precisar: 1) descrever a região D em termos de limites de x e y; 2) encontrar as equações das retas que definem as fronteiras superior e inferior de D; 3) montar e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro vamos achar as equações das retas que ligam (0,1) a (4,2) (fronteira inferior) e (0,4) a (4,7) (fronteira superior). A equação geral é y = m x + b.

Passo 3

Para a reta inferior: o coeficiente angular é
m = 2 - 14 - 0 = 14
A constante é tal que 1 = tfrac14cdot0 + b, logo b = 1. Assim
yb(x) = 14 x + 1
Para a reta superior: o coeficiente angular é
m = 7 - 44 - 0 = 34
E 4 = tfrac34cdot0 + b implica b=4. Portanto
yt(x) = 34 x + 4

Passo 4

A região D fica entre x=0 e x=4, e para cada x o y varia de yb(x) a yt(x). Logo a área é dada por
A = integral duplaD dA = integralx=0^4 integraly=yb(x)^yt(x) dy,dx

Passo 5

Calculamos a integral interna e depois a externa:
A = integral0^4 l[yr]yb(x)^yt(x) dx = integral0^4 l(yt(x)-yb(x)r),dx
Substituindo:
yt(x)-yb(x) = l(34x+4r) - l(14x+1r) = 12x + 3
Então
A = integral0^4 l(12x+3r) dx

Passo 6

Agora integramos:
A = [12 cdot x^22 + 3x]0^4 = [x^24 + 3x]0^4 = 164 + 12 = 4 + 12 = 16

Resposta

16

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