Calcular o volume do solido encerrado pela esfera
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado por
(a semiesfera de raio 4) e pelo plano
. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular esse volume.
Passo 2
Para usar coordenadas cilíndricas, projetamos o sólido no plano
. Na interseção entre a esfera e o plano
, temos
, ou seja
. A projeção é o disco
,
.
Passo 3
A altura do sólido, em cada ponto
da projeção, é a diferença entre a superfície da esfera e o plano:
. Assim o volume vira
Passo 4
Passo 5
Agora separamos a integral em duas partes no raio:
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Subtraindo as partes e incluindo o fator angular
, o volume fica