Calcular o volume do solido encerrado pela esfera z=raiz16-x^2-y^2 e o plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por z=raiz16-x^2-y^2 (a semiesfera de raio 4) e pelo plano z=1. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular esse volume.

Passo 2

Para usar coordenadas cilíndricas, projetamos o sólido no plano xy. Na interseção entre a esfera e o plano z=1, temos 1=raiz16-r^2, ou seja r^2=15. A projeção é o disco 0<= r<=raiz15, 0<=theta<=2pi.

Passo 3

A altura do sólido, em cada ponto (r,theta) da projeção, é a diferença entre a superfície da esfera e o plano: raiz16-r^2-1. Assim o volume vira

Passo 4

V=integral duplaDl(raiz16-r^2-1r),r,dr,dtheta

Passo 5

Agora separamos a integral em duas partes no raio:

Passo 6

integral0^raiz15rraiz16-r^2,dreintegral0^raiz15r,dr Usamos a substituição u=16-r^2, du=-2r,dr na primeira, e a integral direta na segunda. Calculando, obtemos

Passo 7

integral0^raiz15rraiz16-r^2,dr=21, integral0^raiz15r,dr=152

Passo 8

Subtraindo as partes e incluindo o fator angular integral0^2pidtheta=2pi, o volume fica

Passo 9

V=2pil(21-tfrac152r)=2picdot272=27pi

Resposta

27pi

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