Utilizando integral dupla, calcule a área da região
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região
que está limitada por quatro curvas:
,
,
e
. Vamos usar integral dupla para encontrar essa área. Para isso, precisamos entender como essas curvas se comportam e definir os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um gráfico rápido para visualizar a região
. A curva
é uma parábola que se abre para a esquerda. A reta
pode ser reescrita como
. As linhas horizontais
e
definem os limites inferior e superior da região, respectivamente.
Passo 3
Para usar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando o gráfico, para cada valor de
entre
e
,
varia desde a parábola
até a reta
.
Passo 4
A fórmula da integral dupla para a área
da região
é dada por:
Aqui, integramos
de
a
para cada
no intervalo de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo em relação a
:
Passo 8
Avaliar essa expressão no intervalo de
a
:
Passo 9
Simplificando as frações e somando os termos:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.