Utilizando integral dupla, calcule a área da região D limitada pelas curvas y^2=-x, x-y=4, y=-1 e y=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região D que está limitada por quatro curvas: y^2 = -x, x - y = 4, y = -1 e y = 2. Vamos usar integral dupla para encontrar essa área. Para isso, precisamos entender como essas curvas se comportam e definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um gráfico rápido para visualizar a região D. A curva y^2 = -x é uma parábola que se abre para a esquerda. A reta x - y = 4 pode ser reescrita como x = y + 4. As linhas horizontais y = -1 e y = 2 definem os limites inferior e superior da região, respectivamente.

Passo 3

Para usar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o gráfico, para cada valor de y entre -1 e 2, x varia desde a parábola x = -y^2 até a reta x = y + 4.

Passo 4

A fórmula da integral dupla para a área A da região D é dada por:
A = integraly=-1^y=2 integralx=-y^2^x=y+4 dx , dy
Aqui, integramos x de -y^2 a y + 4 para cada y no intervalo de -1 a 2.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integralx=-y^2^x=y+4 dx = (y + 4) - (-y^2) = y + 4 + y^2 = y^2 + y + 4

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A = integral-1^2 (y^2 + y + 4) , dy

Passo 7

Vamos integrar termo a termo em relação a y:
integral (y^2 + y + 4) , dy = y^33 + y^22 + 4y

Passo 8

Avaliar essa expressão no intervalo de y = -1 a y = 2:
A = [ (2)^33 + (2)^22 + 4(2) ] - [ (-1)^33 + (-1)^22 + 4(-1) ]
= ( 83 + 42 + 8 ) - ( -13 + 12 - 4 )
= ( 83 + 2 + 8 ) - ( -13 + 12 - 4 )

Passo 9

Simplificando as frações e somando os termos:
= ( 83 + 10 ) - ( -13 - 72 )
= 83 + 10 + 13 + 72
= 93 + 10 + 72
= 3 + 10 + 3.5 = 16.5

Resposta

A área da região D é 16.5 unidades de área.

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