Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=x^2+y^2x^2-y^2,(x, y) neq(1,1) e f(1,1)=0,(x, y)=(1,1)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função definida por
f(x,y)= x^2+y^2x^2-y^2,&(x,y)neq(1,1) 0,&(x,y)=(1,1)
O que pedem é calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y no ponto (1,1), usando a definição de derivada parcial por limite.

Passo 2

Para partial fpartial x(1,1) usamos a definição
partial fpartial x(1,1)=limhto0f(1+h,1)-f(1,1)h
Como f(1,1)=0 e para y=1 a função vale
f(1+h,1)=(1+h)^2+1(1+h)^2-1,
substituímos na definição.

Passo 3

Vamos simplificar o quociente:
f(1+h,1)=2+2h+h^2h(2+h),
o que dá
f(1+h,1)-0h=2+2h+h^2h^2(2+h)
Para hto0 o numerador tende a 2 e o denominador tende a 0^+ (pois h^2(2+h)approx2h^2), então o quociente explode para +infty.

Passo 4

Para partial fpartial y(1,1) usamos a definição
partial fpartial y(1,1)=limhto0f(1,1+h)-f(1,1)h
Para x=1 vale
f(1,1+h)=1+(1+h)^21-(1+h)^2=2+2h+h^2-h(2+h)
e assim

Passo 5

calculamos
f(1,1+h)-0h=-2+2h+h^2h^2(2+h)
Quando hto0 o numerador tende a 2 e o denominador a 0^+, logo o quociente tende a -infty.

Resposta

As derivadas parciais não existem como números finitos no ponto (1,1):
partial fpartial x(1,1)=+inftyepartial fpartial y(1,1)=-infty

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