Utilizando os limites fundamentais (não usar a regra de L’Hospital), calcule os limites a seguir:
lim x 3(3^x-27x-3)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto33^x-27x-3
usando apenas limites fundamentais, ou seja, sem aplicar a regra de L’Hospital. Vamos usar o fato de que
limhto0a^h-1h=ln a.

Passo 2

Observe que 27=3^3, então podemos fatorar o numerador assim:
3^x-27 = 3^x-3^3 = 3^3l(3^,x-3-1r) = 27l(3^,x-3-1r)

Passo 3

Faça a mudança de variável
t = x-3,
então quando xto3 temos tto0. A expressão do limite vira
limxto33^x-27x-3 = limtto027l(3^t-1r)t = 27;limtto03^t-1t

Passo 4

Usamos agora o limite fundamental para a exponencial de base 3:
limtto03^t-1t = ln 3

Passo 5

Multiplicando pelo fator 27, concluímos que
limxto33^x-27x-3 = 27;ln 3

Resposta

27ln 3

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