Uma espira condutora feita de um fio de espessura desprezível tem um formato retangular de lados \mathrm{a}=2,7 \mathrm{~cm} e \mathrm{b}=5,8 \mathrm{~cm}. Nesta espira circula uma corrente elétrica \mathrm{I}=2 \mathrm{~A}. Calcule a magnitude do campo magnético no centro do contorno retangular da espira. Se for necessário, use a letra u para o prefixo de unidade micro ( \mu ).
Resposta: \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado dá um contorno retangular feito por uma espira de fio de espessura desprezável com lados a=2{,}7\\ \mathrm{cm} e b=5{,}8\\ \mathrm{cm}. Nessa espira circula uma corrente I=2\\ \mathrm{A}.
O que se pede: a magnitude do campo magnético no centro do contorno retangular da espira.
Dados relevantes (vou já passar para o SI):
a=2{,}7\\ \mathrm{cm}=0{,}027\\ \mathrm{m},\qquad b=5{,}8\\ \mathrm{cm}=0{,}058\\ \mathrm{m},\qquad I=2\\ \mathrm{A}.

Passo 2

Ideia geral (só para orientar; a resolução detalhada vem nos passos seguintes): cada lado reto da espira produz, no centro, um campo magnético. Pelo princípio da superposição, o campo total no centro é a soma vetorial dos campos produzidos por cada um dos quatro lados. Por simetria, os dois lados de comprimento a dão contribuições iguais entre si, e os dois lados de comprimento b dão contribuições iguais entre si, e todas têm a mesma direção (obtida pela regra da mão direita), portanto somam em módulo. Usaremos a expressão do campo magnético causado por um fio retilíneo finito, no ponto a uma distância perpendicular R do fio:
B_{\text{fio}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi R}\,(\sin\theta_1+\sin\theta_2),
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente e \theta_1,\theta_2 são os ângulos que as retas que unem o ponto aos extremos do fio fazem com o fio (esta fórmula vem da Lei de Biot–Savart aplicada e integrada sobre o fio).

Passo 3

Explicando a fórmula usada (mini-aula):
  • A Lei de Biot–Savart diz que o campo magnético diferencial produzido por um elemento de corrente I\,d\boldsymbol{\ell} é
d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2},
onde \hat{\boldsymbol{r}} é o versor do ponto de observação em relação ao elemento e r é a distância. Integrando ao longo de um fio retilíneo finito obtém-se, por geometria, a expressão
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\sin\theta_1+\sin\theta_2),
em que R é a distância perpendicular do ponto ao fio e \theta_1,\theta_2 são os ângulos indicados na figura geométrica padrão (ângulos entre o fio e as retas que vão do ponto aos extremos). Se o fio é simétrico em relação ao ponto (ou seja, o ponto está no eixo perpend. ao meio do fio), então \theta_1=\theta_2=\theta e a fórmula reduz para
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi R}\sin\theta.
Aqui \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Cada símbolo: \mu_0 — constante do vácuo; I — corrente; R — distância perpendicular; \theta — ângulo contruído pela configuração geométrica (ver explicação abaixo).

Passo 4

Geometria do nosso retângulo no centro:
  • Para um lado de comprimento a (rumo horizontal, por exemplo) a distância perpendicular do centro até esse lado é R_a=b/2. O semi-comprimento desse lado é a/2. A configuração é simétrica, então para esse lado \theta_1=\theta_2=\theta_a com
\sin\theta_a=\frac{a/2}{\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}}.
Aplicando a forma simétrica da fórmula, a contribuição de um lado de comprimento a é
B_a^{\text{(um lado)}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi (b/2)}\sin\theta_a =\frac{\mu_0 I}{\pi b}\cdot\frac{a/2}{\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}}.
Como há dois lados de comprimento a (um acima e um abaixo do centro) e suas contribuições somam, a contribuição total dos lados a é 2B_a^{\text{(um lado)}}.

Passo 5

Mesma coisa para os lados de comprimento b: a distância perpendicular do centro até um lado de comprimento b é R_b=a/2. O semi-comprimento é b/2. Assim a contribuição total dos dois lados de comprimento b é
2B_b^{\text{(um lado)}}=2\cdot\frac{\mu_0 I}{2\pi (a/2)}\sin\theta_b = \frac{\mu_0 I}{\pi a}\cdot\frac{b/2}{\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}}\,,
onde \sin\theta_b=\dfrac{b/2}{\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}}.
Agora somamos as contribuições dos dois pares de lados:
B_{\text{total}}=2B_a^{\text{(um lado)}}+2B_b^{\text{(um lado)}} = \frac{\mu_0 I}{\pi}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\frac{1}{\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}}.
Simplificando \sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}, obtemos a forma mais compacta
\boxed{\,B=\frac{2\mu_0 I}{\pi\sqrt{a^2+b^2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\,}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
Valores em SI já dados:
a=0{,}027\\ \mathrm{m},\qquad b=0{,}058\\ \mathrm{m},\qquad I=2\\ \mathrm{A},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Calcule \sqrt{a^2+b^2}:
a^2=(0{,}027)^2=0{,}000729,\qquad b^2=(0{,}058)^2=0{,}003364,
a^2+b^2=0{,}000729+0{,}003364=0{,}004093,
\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0{,}004093}=0{,}06397\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).
Calcule \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}:
\frac{a}{b}=\frac{0{,}027}{0{,}058}=0{,}4655\quad(\text{aprox.}),
\frac{b}{a}=\frac{0{,}058}{0{,}027}=2{,}1481\quad(\text{aprox.}),
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=0{,}4655+2{,}1481=2{,}6136\quad(\text{aprox.}).
Calcule o fator \dfrac{2\mu_0 I}{\pi\sqrt{a^2+b^2}}:
2\mu_0 I = 2\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot 2 = 5{,}026548\times10^{-6}\\ \mathrm{(T\cdot m)}.
\frac{2\mu_0 I}{\pi}= \frac{5{,}026548\times10^{-6}}{\pi}=1{,}6000\times10^{-6}\\ \mathrm{(T\cdot m)}\quad(\text{aprox.}).
Dividindo por \sqrt{a^2+b^2}:
\frac{1{,}6000\times10^{-6}}{0{,}06397}=2{,}501\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Agora multiplicamos pelo parêntese \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}:
B=2{,}501\times10^{-5}\times 2{,}6136=6{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\quad(\text{aprox.}).
Convertendo para microtesla (usar a letra u para o prefixo micro, conforme pedido): 1\\ \mu\mathrm{T}=10^{-6}\\ \mathrm{T}, logo
6{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=65{,}4\\ \mathrm{uT}.

Resposta

6,54\times10^{-5}\\ \mathrm{T}=65{,}4\\ \mathrm{uT}

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