Uma espira condutora feita de um fio de espessura desprezível tem um formato retangular de lados
e
. Nesta espira circula uma corrente elétrica
. Calcule a magnitude do campo magnético no centro do contorno retangular da espira. Se for necessário, use a letra u para o prefixo de unidade micro (
).
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá um contorno retangular feito por uma espira de fio de espessura desprezável com lados
e
. Nessa espira circula uma corrente
.
O que se pede: a magnitude do campo magnético no centro do contorno retangular da espira.
Dados relevantes (vou já passar para o SI):
O que se pede: a magnitude do campo magnético no centro do contorno retangular da espira.
Dados relevantes (vou já passar para o SI):
Passo 2
Ideia geral (só para orientar; a resolução detalhada vem nos passos seguintes): cada lado reto da espira produz, no centro, um campo magnético. Pelo princípio da superposição, o campo total no centro é a soma vetorial dos campos produzidos por cada um dos quatro lados. Por simetria, os dois lados de comprimento
dão contribuições iguais entre si, e os dois lados de comprimento
dão contribuições iguais entre si, e todas têm a mesma direção (obtida pela regra da mão direita), portanto somam em módulo. Usaremos a expressão do campo magnético causado por um fio retilíneo finito, no ponto a uma distância perpendicular
do fio:
onde
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente e
são os ângulos que as retas que unem o ponto aos extremos do fio fazem com o fio (esta fórmula vem da Lei de Biot–Savart aplicada e integrada sobre o fio).
Passo 3
Explicando a fórmula usada (mini-aula):
- A Lei de Biot–Savart diz que o campo magnético diferencial produzido por um elemento de corrente
é
onde
é o versor do ponto de observação em relação ao elemento e
é a distância. Integrando ao longo de um fio retilíneo finito obtém-se, por geometria, a expressão
em que
é a distância perpendicular do ponto ao fio e
são os ângulos indicados na figura geométrica padrão (ângulos entre o fio e as retas que vão do ponto aos extremos). Se o fio é simétrico em relação ao ponto (ou seja, o ponto está no eixo perpend. ao meio do fio), então
e a fórmula reduz para
Aqui
. Cada símbolo:
— constante do vácuo;
— corrente;
— distância perpendicular;
— ângulo contruído pela configuração geométrica (ver explicação abaixo).
Passo 4
Geometria do nosso retângulo no centro:
- Para um lado de comprimento
(rumo horizontal, por exemplo) a distância perpendicular do centro até esse lado é . O semi-comprimento desse lado é . A configuração é simétrica, então para esse lado com
Aplicando a forma simétrica da fórmula, a contribuição de um lado de comprimento
é
Como há dois lados de comprimento
(um acima e um abaixo do centro) e suas contribuições somam, a contribuição total dos lados
é
.
Passo 5
Mesma coisa para os lados de comprimento
: a distância perpendicular do centro até um lado de comprimento
é
. O semi-comprimento é
. Assim a contribuição total dos dois lados de comprimento
é
onde
.
Agora somamos as contribuições dos dois pares de lados:
Simplificando
, obtemos a forma mais compacta
Passo 6
Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
Valores em SI já dados:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule o fator
:
Dividindo por
:
Agora multiplicamos pelo parêntese
:
Convertendo para microtesla (usar a letra
para o prefixo micro, conforme pedido):
, logo