Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspita aplicar, explique o porquê.
lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\operatorname{sen} x}{1+\cos 2 x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to \pi/2}\frac{1-\sin x}{1+\cos2x}\,,
que é um problema de limite de quociente. Como ao substituir x=\pi/2 obtemos 0/0, vamos usar a Regra de l’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0 e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0, então \lim_{x\to a}f(x)/g(x)=\lim_{x\to a}f'(x)/g'(x).

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta:
1-\sin(\pi/2)=1-1=0, \quad 1+\cos(2\cdot\pi/2)=1+\cos\pi=1-1=0,
logo é a forma indeterminada 0/0 e podemos aplicar a Regra de l’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador, temos
\frac{d}{dx}\bigl(1-\sin x\bigr)=-\cos x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(1+\cos2x\bigr)=-2\sin2x.
Pela Regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to \pi/2}\frac{1-\sin x}{1+\cos2x} =\lim_{x\to \pi/2}\frac{-\cos x}{-2\sin2x} =\lim_{x\to \pi/2}\frac{\cos x}{2\sin2x}.

Passo 4

Usamos a identidade \sin2x=2\sin x\cos x, assim
\frac{\cos x}{2\sin2x} =\frac{\cos x}{2\cdot(2\sin x\cos x)} =\frac{1}{4\sin x}.
Portanto
\lim_{x\to \pi/2}\frac{1}{4\sin x} =\frac{1}{4\cdot1} =\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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