Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes a determinar. Em resumo, a gente vai encontrar primeiro a solução da parte homogênea (onde o lado direito é zero) e depois uma solução particular que ajuste o termo forçante
.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
Resolvendo, vemos que
ou seja, temos raiz dupla
. Quando a raiz é dupla, a solução homogênea fica
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Agora a gente procura uma solução particular
para a parte não homogênea. Como o termo forçante é
e
não é raiz da característica, o chute padrão é
com
constante a determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e substituir na equação original. Temos:
Substituindo em
:
Para isso igualar a
, precisamos de
Passo 5
Por fim, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
y(t)=C_1e{-3t}+C_2te{-3t}+\tfrac1{16}e^t