Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime+6 y^prime+9 y=e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+6y'+9y=e^t
usando o método dos coeficientes a determinar. Em resumo, a gente vai encontrar primeiro a solução da parte homogênea (onde o lado direito é zero) e depois uma solução particular que ajuste o termo forçante e^t.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2+6r+9=0
Resolvendo, vemos que
(r+3)^2=0
ou seja, temos raiz dupla r=-3. Quando a raiz é dupla, a solução homogênea fica
yh=C1e^-3t+C2te^-3t
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 3

Agora a gente procura uma solução particular yp para a parte não homogênea. Como o termo forçante é e^t e 1 não é raiz da característica, o chute padrão é
yp=Ae^t
com A constante a determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp e substituir na equação original. Temos:
yp'=Ae^t, yp''=Ae^t
Substituindo em y''+6y'+9y=e^t:
Ae^t+6Ae^t+9Ae^t=(1+6+9)A e^t=16A e^t
Para isso igualar a e^t, precisamos de
16A e^t=e^t derivando A=tfrac116

Passo 5

Por fim, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh+yp=C1e^-3t+C2te^-3t+116e^t

Resposta

y(t)=C_1e{-3t}+C_2te{-3t}+\tfrac1{16}e^t

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