Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime+2 y^prime+5 y=2 sen 3 t

Passo 1

Temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 5y = 2sin(3t)
O conteúdo aqui é EDO linear de 2º ordem; vamos usar a equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Considerando a equação homogênea
y'' + 2y' + 5y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 2r + 5 = 0
cuja solução é
r = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2i
Logo, a solução homogênea é
yh(t) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é 2sin(3t), fazemos o ansatz
yp(t) = Acos(3t) + Bsin(3t)
Então
yp'(t) = -3Asin(3t) + 3Bcos(3t),
yp''(t) = -9Acos(3t) -9Bsin(3t)
Substituindo em y'' + 2y' + 5y e igualando a 2sin(3t), obtemos o sistema
(-9A + 6B + 5A)cos(3t) + (-9B -6A +5B)sin(3t) = 2sin(3t)
Isto leva a
-4A + 6B = 0,
-6A - 4B = 2

Passo 4

Resolvendo o sistema
-4A + 6B = 0, -6A - 4B = 2,
da primeira equação vem A = tfrac32B. Substituindo na segunda:
-6l(tfrac32Br) -4B = 2 Rightarrow -9B -4B = 2 Rightarrow B = -tfrac213,
logo A = -tfrac313. Assim a particular é
yp(t) = -tfrac313cos(3t) - tfrac213sin(3t)

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:

Resposta

y(t) = e^-tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) - 313cos(3t) - 213sin(3t)

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