Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
Passo 1
A equação que temos é
. O conteúdo aqui é EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois um particular para o
.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Escrevemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo essa quadrática,
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução homogênea é
Passo 5
Em seguida, para a parte particular, como o lado direito é
, a gente supõe
e calcula as derivadas:
Passo 6
Substituindo em
e agrupando termos:
Passo 7
Isso se rearranja para
Passo 8
Queremos que isso seja igual a
, logo montamos o sistema:
Passo 9
Resolvendo: de
vem
. Substituindo em
:
Passo 10
Logo a parte particular é
Passo 11
A solução geral da equação completa é a soma de
com
.