Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime+y^prime-6 y=sen x

Passo 1

A equação que temos é y'' + y' - 6y = sin x. O conteúdo aqui é EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois um particular para o sin x.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y'' + y' - 6y = 0. Escrevemos a equação característica:
r^2 + r - 6 = 0

Passo 3

Resolvendo essa quadrática,
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52 implies r1 = 2, r2 = -3

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x

Passo 5

Em seguida, para a parte particular, como o lado direito é sin x, a gente supõe
yp(x) = Acos x + Bsin x,
e calcula as derivadas:
yp' = -Asin x + Bcos x,
yp'' = -Acos x - Bsin x

Passo 6

Substituindo em y'' + y' - 6y e agrupando termos:
yp'' + yp' - 6yp = (-Acos x - Bsin x) + (-Asin x + Bcos x) -6(Acos x + Bsin x)

Passo 7

Isso se rearranja para
(-7A + B)cos x + (-A - 7B)sin x

Passo 8

Queremos que isso seja igual a 0cos x + 1sin x, logo montamos o sistema:
-7A + B = 0, -A - 7B = 1

Passo 9

Resolvendo: de -7A + B = 0 vem B = 7A. Substituindo em -A - 7B = 1:
-A - 7(7A) = 1 implies -50A = 1 implies A = -tfrac150, B = -tfrac750

Passo 10

Logo a parte particular é
yp(x) = -tfrac150cos x - tfrac750sin x

Passo 11

A solução geral da equação completa é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x - 150cos x - 750sin x

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