Resolva o problema de valor inicial:
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0, y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

O problema envolve resolver uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada temos:
r^2 + 4r + 5 = 0
Resolvendo-a com a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
r = -4 pm raiz16 - 202 = -2 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas da forma alpha pm ibeta com alpha = -2 e beta = 1, a solução geral da EDO é
y(x) = e^-2xl(Acos x + Bsin xr)

Passo 4

Para determinar A e B, calculamos y'(x):
y'(x) = e^-2xl((-2A + B)cos x + (-2B - A)sin xr)
Aplicando as condições iniciais:
- y(0)=1 A = 1.
- y'(0)=0 -2A + B = 0 implies B = 2A = 2

Passo 5

Substituindo A = 1 e B = 2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x) = e^-2xl(cos x + 2sin xr)

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