Resolva a E.D.O: (Lembre-se: a solução é dada por
, onde
é solução da E.D.O homogênea e
é solução particular da E.D.O não-homogênea).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a E.D.O. linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4y’’ - y = x e^{x/2}
O conteúdo é Equações Lineares com Método dos Coeficientes Indeterminados, e vamos precisar achar a solução homogênea y_h (resolvendo o polinômio característico) e depois uma solução particular y_p compatível com o termo não-homogêneo.
4y’’ - y = x e^{x/2}
O conteúdo é Equações Lineares com Método dos Coeficientes Indeterminados, e vamos precisar achar a solução homogênea y_h (resolvendo o polinômio característico) e depois uma solução particular y_p compatível com o termo não-homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada: 4r^2 - 1 = 0. Resolvendo, temos
Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, o termo não-homogêneo é x e^{x/2}. Como e^{x/2} já aparece em y_h (raiz simples r=1/2), multiplicamos nossa forma de palpite por x. O palpite geral é um polinômio de grau 1 em x vezes x vezes e^{x/2}, ou seja
Passo 4
Agora calculamos y_p’ e y_p’’ usando a regra do produto: definindo u(x)=A x^2 + Bx, temos
Passo 5
Substituindo na equação original 4y’’ - y, obtemos após simplificação
Passo 6
Esse resultado deve ser igual a x e^{x/2}. Igualando coeficientes do polinômio em x:
Passo 7
Daí vem A = 1/8 e B = -1/4. Portanto
Resposta
A solução geral da E.D.O. é