Resolva a E.D.O: (Lembre-se: a solução é dada por y=yh+yp, onde yh é solução da E.D.O homogênea e yp é solução particular da E.D.O não-homogênea).
4 y^prime prime-y=x e^x / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O. linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4y’’ - y = x e^{x/2}
O conteúdo é Equações Lineares com Método dos Coeficientes Indeterminados, e vamos precisar achar a solução homogênea y_h (resolvendo o polinômio característico) e depois uma solução particular y_p compatível com o termo não-homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada: 4r^2 - 1 = 0. Resolvendo, temos
4r^2 - 1 = 0 implies r^2 = tfrac14 implies r = pm tfrac12
Logo, a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x/2 + C2 e^-x/2

Passo 3

Para a parte particular, o termo não-homogêneo é x e^{x/2}. Como e^{x/2} já aparece em y_h (raiz simples r=1/2), multiplicamos nossa forma de palpite por x. O palpite geral é um polinômio de grau 1 em x vezes x vezes e^{x/2}, ou seja
yp = (A x^2 + Bx) e^x/2

Passo 4

Agora calculamos y_p’ e y_p’’ usando a regra do produto: definindo u(x)=A x^2 + Bx, temos
yp = u e^x/2,
yp' = (u' + tfrac12 u)e^x/2,
yp'' = l(u'' + u' + tfrac14 ur)e^x/2

Passo 5

Substituindo na equação original 4y’’ - y, obtemos após simplificação
4yp'' - yp = l(8A x + 8A + 4Br)e^x/2

Passo 6

Esse resultado deve ser igual a x e^{x/2}. Igualando coeficientes do polinômio em x:
8A = 1, 8A + 4B = 0

Passo 7

Daí vem A = 1/8 e B = -1/4. Portanto
yp = l(tfrac18 x^2 - tfrac14 xr)e^x/2

Resposta

A solução geral da E.D.O. é
y(x) = C1 e^x/2 + C2 e^-x/2 + l(tfrac18 x^2 - tfrac14 xr)e^x/2

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