Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=4 x^{2}+3 x+1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'-6y=4x^{2}+3x+1,
isto é, encontrar (1) uma solução particular y_p da equação não-homogênea e (2) a solução geral y (soma da solução complementar/homogênea com y_p). As informações relevantes que temos: é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte polinomial de grau 2.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada, isto é resolver
y''-y'-6y=0.
O método padrão é supor y=e^{\lambda x}. Substituindo obtemos a equação característica
\lambda^{2}-\lambda-6=0.
Resolvendo essa quadrática:
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2},
logo \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=-2. Como as raízes são reais e distintas, a solução homogênea (complementar) é
y_{h}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o “método dos coeficientes indeterminados” para achar uma solução particular y_p. Regra prática: quando o termo à direita é um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular que seja um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados, multiplicado por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz \lambda=0 da equação característica. Aqui o termo do lado direito é um polinômio de grau 2. A equação característica tem raízes 3 e -2, ou seja, \lambda=0 NÃO é raiz, então s=0. Portanto tentamos um polinômio de grau 2.

Passo 4

Fazemos o ansatz (tentativa):
y_{p}=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar. Calculamos as derivadas para substituir na equação:
y_{p}'=2Ax+B,
y_{p}''=2A.

Passo 5

Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na expressão y''-y'-6y e agrupamos termos por potências de x:
y_{p}''-y_{p}'-6y_{p}=2A-(2Ax+B)-6(Ax^{2}+Bx+C).
Desenvolvendo os termos:
=2A-2Ax-B-6Ax^{2}-6Bx-6C.
Agrupando por potências de x:
\text{coeficiente de }x^{2}:\\\ -6A,
\text{coeficiente de }x:\\\ -2A-6B,
\text{termo constante}:\\\ 2A-B-6C.

Passo 6

Essas expressões devem igualar os coeficientes do polinômio do lado direito 4x^{2}+3x+1. Assim obtemos o sistema linear para A,B,C:
-6A=4,
-2A-6B=3,
2A-B-6C=1.
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação,
A=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}.
Substituindo A na segunda:
-2\!\left(-\frac{2}{3}\right)-6B=3
\frac{4}{3}-6B=3
-6B=3-\frac{4}{3}= \frac{9-4}{3}=\frac{5}{3}
B=-\frac{5}{18}.
Agora substituímos A e B na terceira:
2\!\left(-\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{5}{18}\right)-6C=1
-\frac{4}{3}+\frac{5}{18}-6C=1.
Colocando em denominador comum 18:
-\frac{24}{18}+\frac{5}{18}-6C=1
-\frac{19}{18}-6C=1
-6C=1+\frac{19}{18}=\frac{18+19}{18}=\frac{37}{18}
C=-\frac{37}{108}.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}=-\frac{2}{3}x^{2}-\frac{5}{18}x-\frac{37}{108}.

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}-\frac{2}{3}x^{2}-\frac{5}{18}x-\frac{37}{108}.

Resposta

y_{p}=-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{5}{18}x-\dfrac{37}{108}\n
y=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{5}{18}x-\dfrac{37}{108}

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