Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
isto é, encontrar (1) uma solução particular
da equação não-homogênea e (2) a solução geral
(soma da solução complementar/homogênea com
). As informações relevantes que temos: é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte polinomial de grau
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada, isto é resolver
O método padrão é supor
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
logo
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução homogênea (complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o “método dos coeficientes indeterminados” para achar uma solução particular
. Regra prática: quando o termo à direita é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular que seja um polinômio de grau
com coeficientes indeterminados, multiplicado por
, onde
é a multiplicidade da raiz
da equação característica. Aqui o termo do lado direito é um polinômio de grau
. A equação característica tem raízes
e
, ou seja,
NÃO é raiz, então
. Portanto tentamos um polinômio de grau
.
Passo 4
Fazemos o ansatz (tentativa):
onde
são constantes a determinar. Calculamos as derivadas para substituir na equação:
Passo 5
Substituímos
na expressão
e agrupamos termos por potências de
:
Desenvolvendo os termos:
Agrupando por potências de
:
Passo 6
Essas expressões devem igualar os coeficientes do polinômio do lado direito
. Assim obtemos o sistema linear para
:
Resolvendo passo a passo:
Da primeira equação,
Substituindo
na segunda:
Agora substituímos
e
na terceira:
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
Passo 8
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular: