Nos problemas abaixo, encontre as soluções y_{1} e y_{2}, e em seguida a solução geral.
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+7 y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 7y = 0,
e pede para encontrar duas soluções fundamentais y_{1} e y_{2} e, em seguida, a solução geral da equação. As informações relevantes são: a equação linear homogênea de segunda ordem e os coeficientes 5 e 7. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vamos buscar soluções do tipo exponencial. A ideia (que vamos explicar) é testar uma solução da forma \;y=e^{rx}\;, onde r é um número (possivelmente complexo). Substituindo na equação, obtemos uma equação algébrica para r chamada equação característica.
Explicando por que isso funciona: derivadas de e^{rx} apenas multiplicam por r, então y'=re^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}. Como e^{rx} nunca é zero, ele pode ser cancelado, sobrando uma equação em r. Essa redução transforma o problema diferencial em um problema algébrico simples.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} em \;y''+5y'+7y=0\;temos
r^{2}e^{rx} + 5re^{rx} + 7e^{rx} = 0.
Cancelando e^{rx} (que é não nulo), obtemos a equação característica
r^{2} + 5r + 7 = 0.

Passo 4

Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 5^{2} - 4\cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula das raízes:
r = \frac{-5 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-5}{2} \pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Vamos definir
\alpha = -\frac{5}{2},\qquad \beta = \frac{\sqrt{3}}{2},
de modo que as raízes são \;r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta\;.

Passo 5

Teoria importante (explicação didática): quando a equação característica de uma equação linear homogênea com coeficientes reais tem raízes complexas conjugadas \alpha\pm \mathrm{i}\beta, então duas soluções reais linearmente independentes são
y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Por que isso? A solução complexa e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + \mathrm{i}\sin\beta x) satisfaz a EDO; como os coeficientes são reais, as partes real e imaginária dessa solução complexa também satisfazem a EDO. Essas partes são exatamente e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x).

Passo 6

Aplicando o resultado ao nosso caso com \alpha=-\tfrac{5}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos as duas soluções fundamentais
y_{1}(x)=e^{-\frac{5}{2}x}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right),
y_{2}(x)=e^{-\frac{5}{2}x}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right).

Passo 7

Verificação de independência linear (útil para garantir que podemos formar a solução geral): calculemos o Wronskiano W(y_{1},y_{2}).
Primeiro as derivadas:
y_{1}'(x)=e^{\alpha x}\big(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x)\big),
y_{2}'(x)=e^{\alpha x}\big(\alpha\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\big),
com \alpha=-\tfrac{5}{2}, \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2}) = y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}' = e^{2\alpha x}\beta(\cos^{2}\beta x+\sin^{2}\beta x)=\beta e^{2\alpha x}.
Como \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0 e e^{2\alpha x}=e^{-5x}\neq 0, segue W\neq 0 para todo x, então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Passo 8

Como y_{1} e y_{2} são duas soluções fundamentais linearmente independentes de uma equação de segunda ordem, a solução geral é combinação linear delas com constantes arbitrárias reais C_{1} e C_{2}:
y(x)=C_{1}e^{-\frac{5}{2}x}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + C_{2}e^{-\frac{5}{2}x}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right).
Podemos também escrever de forma compacta:
y(x)=e^{-\frac{5}{2}x}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right).

Resposta

y_{1}(x)=e^{-\frac{5}{2}x}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\n
y_{2}(x)=e^{-\frac{5}{2}x}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\n
y(x)=C_{1}e^{-\frac{5}{2}x}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}e^{-\frac{5}{2}x}\sin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)

Exercícios relacionados