Nos problemas abaixo, encontre as soluções
e
, e em seguida a solução geral.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede para encontrar duas soluções fundamentais
e
e, em seguida, a solução geral da equação. As informações relevantes são: a equação linear homogênea de segunda ordem e os coeficientes
e
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Vamos buscar soluções do tipo exponencial. A ideia (que vamos explicar) é testar uma solução da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo). Substituindo na equação, obtemos uma equação algébrica para
chamada equação característica.
Explicando por que isso funciona: derivadas de
apenas multiplicam por
, então
e
. Como
nunca é zero, ele pode ser cancelado, sobrando uma equação em
. Essa redução transforma o problema diferencial em um problema algébrico simples.
Passo 3
Substituindo
em
temos
Cancelando
(que é não nulo), obtemos a equação característica
Passo 4
Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula das raízes:
Vamos definir
de modo que as raízes são
.
Passo 5
Teoria importante (explicação didática): quando a equação característica de uma equação linear homogênea com coeficientes reais tem raízes complexas conjugadas
, então duas soluções reais linearmente independentes são
Por que isso? A solução complexa
satisfaz a EDO; como os coeficientes são reais, as partes real e imaginária dessa solução complexa também satisfazem a EDO. Essas partes são exatamente
e
.
Passo 6
Aplicando o resultado ao nosso caso com
e
, obtemos as duas soluções fundamentais
Passo 7
Verificação de independência linear (útil para garantir que podemos formar a solução geral): calculemos o Wronskiano
.
Primeiro as derivadas:
Primeiro as derivadas:
com
,
. O Wronskiano é
Como
e
, segue
para todo
, então
e
são linearmente independentes.
Passo 8
Como
e
são duas soluções fundamentais linearmente independentes de uma equação de segunda ordem, a solução geral é combinação linear delas com constantes arbitrárias reais
e
:
Podemos também escrever de forma compacta: