Considere a EDO y^{\prime \prime}-9 y=0 :
a) Verifique que y_{1}=e^{3 x} e y_{2}=e^{-3 x} são soluções da EDO.
b) Verifique que y_{1} e y_{2} são soluções LI da EDO.
c) Encontre a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'' - 9y = 0
e pede três coisas:
(a) Verificar que \;y_{1}=e^{3x}\; e \;y_{2}=e^{-3x}\; são soluções da EDO.
(b) Verificar que \;y_{1} e \;y_{2} são linearmente independentes (LI).
(c) Encontrar a solução geral da EDO.
As informações relevantes fornecidas são as expressões das funções \;y_{1} e \;y_{2} acima e a própria EDO \;y''-9y=0. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Regra útil que vamos usar: para uma exponencial da forma \;e^{ax}\; com constante \;a\;, temos
Aqui \;a\; é um número (constante) e as fórmulas dizem como obter a primeira e a segunda derivada. Essa regra vem diretamente da regra da cadeia aplicada a e^{ax}.
Portanto \;y_{2}=e^{-3x}\; também é solução da EDO.
Passo 5
Agora precisamos verificar que \;y_{1} e \;y_{2} são linearmente independentes. Uma ferramenta simples para isso é o wronskiano: para duas funções \;y_{1},y_{2}\; definimos
Se o wronskiano é diferente de zero em algum ponto (ou em todo o intervalo considerado), então as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Isso é um critério padrão para linearidade independente de soluções de EDOs lineares.
Passo 6
Calculemos o wronskiano usando as derivadas já encontradas:
Simplificando cada termo (observe que e^{3x}e^{-3x}=e^{0}=1):
W(y_{1},y_{2})(x) = -3 - 3 = -6.
O wronskiano é a constante -6, para todo x.
Passo 7
Como W(y_{1},y_{2})(x)=-6\neq 0 para todo x, concluímos que \;y_{1}=e^{3x}\; e \;y_{2}=e^{-3x}\; são linearmente independentes. Intuitivamente: não existe combinação constante C_1,C_2, não triviais, tal que C_1 y_1 + C_2 y_2\equiv 0.
Passo 8
Teoria para escrever a solução geral: para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, como \;y''-9y=0, uma abordagem padrão é resolver a equação característica substituindo y=e^{rx}. Isso leva à equação polinomial em r:
r^{2}-9=0.
Aqui r é a incógnita da equação característica; as raízes r determinam expoentes das soluções exponenciais. Se as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 9
Resolva a equação característica \;r^{2}-9=0:
r^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm 3.
As raízes são r_{1}=3 e r_{2}=-3, que correspondem exatamente às soluções \;e^{3x} e \;e^{-3x} já verificadas. Assim a solução geral, combinando as duas soluções LI, é
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).
Resposta
a) As duas funções satisfazem \;y''-9y=0\; (verificações feitas).
b) W(y_{1},y_{2})(x)=-6\neq0, portanto são linearmente independentes.
c) \;y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-3x}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.