Considere a EDO y^{\prime \prime}-9 y=0 :
a) Verifique que y_{1}=e^{3 x} e y_{2}=e^{-3 x} são soluções da EDO.
b) Verifique que y_{1} e y_{2} são soluções LI da EDO.
c) Encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'' - 9y = 0
e pede três coisas:
  • (a) Verificar que \;y_{1}=e^{3x}\; e \;y_{2}=e^{-3x}\; são soluções da EDO.
  • (b) Verificar que \;y_{1} e \;y_{2} são linearmente independentes (LI).
  • (c) Encontrar a solução geral da EDO.
As informações relevantes fornecidas são as expressões das funções \;y_{1} e \;y_{2} acima e a própria EDO \;y''-9y=0. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Regra útil que vamos usar: para uma exponencial da forma \;e^{ax}\; com constante \;a\;, temos
\frac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{ax}=a^2 e^{ax}.
Aqui \;a\; é um número (constante) e as fórmulas dizem como obter a primeira e a segunda derivada. Essa regra vem diretamente da regra da cadeia aplicada a e^{ax}.

Passo 3

Verificação para \;y_{1}=e^{3x}:
Calcule as derivadas usando a regra do Passo 2:
y_{1}' = 3 e^{3x},\qquad y_{1}'' = 3^{2} e^{3x} = 9 e^{3x}.
Substituindo na EDO \;y''-9y\;:
y_{1}'' - 9 y_{1} = 9 e^{3x} - 9 e^{3x} = 0.
Como a substituição produz 0 para todo x, concluímos que \;y_{1}=e^{3x}\; é solução da EDO.

Passo 4

Verificação para \;y_{2}=e^{-3x}:
Calcule as derivadas usando a regra do Passo 2 com a=-3:
y_{2}' = -3 e^{-3x},\qquad y_{2}'' = (-3)^{2} e^{-3x} = 9 e^{-3x}.
Substituindo na EDO:
y_{2}'' - 9 y_{2} = 9 e^{-3x} - 9 e^{-3x} = 0.
Portanto \;y_{2}=e^{-3x}\; também é solução da EDO.

Passo 5

Agora precisamos verificar que \;y_{1} e \;y_{2} são linearmente independentes. Uma ferramenta simples para isso é o wronskiano: para duas funções \;y_{1},y_{2}\; definimos
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) \\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x)\end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x) - y_{2}(x)\,y_{1}'(x).
Se o wronskiano é diferente de zero em algum ponto (ou em todo o intervalo considerado), então as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Isso é um critério padrão para linearidade independente de soluções de EDOs lineares.

Passo 6

Calculemos o wronskiano usando as derivadas já encontradas:
W(y_{1},y_{2})(x) = e^{3x}\cdot(-3 e^{-3x}) - e^{-3x}\cdot(3 e^{3x}).
Simplificando cada termo (observe que e^{3x}e^{-3x}=e^{0}=1):
W(y_{1},y_{2})(x) = -3 - 3 = -6.
O wronskiano é a constante -6, para todo x.

Passo 7

Como W(y_{1},y_{2})(x)=-6\neq 0 para todo x, concluímos que \;y_{1}=e^{3x}\; e \;y_{2}=e^{-3x}\; são linearmente independentes. Intuitivamente: não existe combinação constante C_1,C_2, não triviais, tal que C_1 y_1 + C_2 y_2\equiv 0.

Passo 8

Teoria para escrever a solução geral: para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, como \;y''-9y=0, uma abordagem padrão é resolver a equação característica substituindo y=e^{rx}. Isso leva à equação polinomial em r:
r^{2}-9=0.
Aqui r é a incógnita da equação característica; as raízes r determinam expoentes das soluções exponenciais. Se as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 9

Resolva a equação característica \;r^{2}-9=0:
r^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm 3.
As raízes são r_{1}=3 e r_{2}=-3, que correspondem exatamente às soluções \;e^{3x} e \;e^{-3x} já verificadas. Assim a solução geral, combinando as duas soluções LI, é
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).

Resposta

a) As duas funções satisfazem \;y''-9y=0\; (verificações feitas).
b) W(y_{1},y_{2})(x)=-6\neq0, portanto são linearmente independentes.
c) \;y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-3x}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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