Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=e^{6 x};

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução particular e a solução geral da equação diferencial
y'' + 6y' + 9y = e^{6x}.
Informações dadas:
\text{Equação: } y'' + 6y' + 9y = e^{6x}.çã
Não há condições iniciais fornecidas (somente pede solução particular e geral). A incógnita é a função y(x).

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (a parte “sem” o termo do lado direito). Escrevemos a equação homogênea:
y'' + 6y' + 9y = 0.
Para resolver, usamos a equação característica obtida trocando y por e^{rx}, o que leva à polinomial em r:
r^{2} + 6r + 9 = 0.
Agora resolvemos essa equação algébrica.

Passo 3

Resolvendo a característica:
r^{2} + 6r + 9 = (r+3)^{2} = 0.
Portanto temos raiz dupla r = -3 com multiplicidade 2. Quando a raiz r=-3 aparece com multiplicidade 2, a solução geral da homogênea tem a forma (regra padrão para raízes repetidas):
y_{h}(x) = C_{1} e^{-3x} + C_{2} x e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui expliquei: cada multiplicidade adicional multiplica por um fator x.

Passo 4

Agora vamos buscar uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y'' + 6y' + 9y = e^{6x},
usando o “método dos coeficientes indeterminados”. A ideia é supor uma forma para y_{p} com parâmetros que ajustaremos.
Observação importante (ressonância): normalmente, para um termo do tipo e^{\alpha x} do lado direito, tomamos como tentativa y_{p}=A e^{\alpha x}. Se \alpha for raiz da equação característica, há ressonância e então multiplicamos por potências de x suficientes. Aqui o lado direito é e^{6x}, que corresponde a \alpha=6. A raiz \alpha=6 NÃO é raiz da característica (que tem raiz -3), logo NÃO há ressonância. Portanto a forma de tentativa é
y_{p}(x) = A e^{6x},
onde A é uma constante indeterminada.

Passo 5

Calculemos y_{p}' e y_{p}'' para substituir na equação e determinar A.
y_{p}(x) = A e^{6x},
y_{p}'(x) = 6A e^{6x},
y_{p}''(x) = 36A e^{6x}.

Passo 6

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial:
y_{p}'' + 6y_{p}' + 9y_{p} = \bigl(36A + 6\cdot 6A + 9A\bigr) e^{6x}.
Calculemos o coeficiente numérico dentro do parêntese:
36A + 36A + 9A = 81A.
Então a substituição dá
81A e^{6x} = e^{6x}.
Igualando os coeficientes (podemos dividir por e^{6x}, que nunca é zero), obtemos
81A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{1}{81}.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x) = \frac{1}{81} e^{6x}.
Uma explicação rápida de por que isso funciona: aplicamos o operador linear L[y]=y''+6y'+9y a y_{p} e determinamos A de modo que L[y_{p}]=e^{6x}.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x).
Substituindo as expressões que já obtivemos:
y(x) = C_{1} e^{-3x} + C_{2} x e^{-3x} + \frac{1}{81} e^{6x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{p}(x)=\dfrac{1}{81}e^{6x}
y(x)=C_{1}e^{-3x}+C_{2}x e^{-3x}+\dfrac{1}{81}e^{6x}

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