Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
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Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução particular e a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
Não há condições iniciais fornecidas (somente pede solução particular e geral). A incógnita é a função
.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (a parte “sem” o termo do lado direito). Escrevemos a equação homogênea:
Para resolver, usamos a equação característica obtida trocando
por
, o que leva à polinomial em
:
Agora resolvemos essa equação algébrica.
Passo 3
Resolvendo a característica:
Portanto temos raiz dupla
com multiplicidade
. Quando a raiz
aparece com multiplicidade
, a solução geral da homogênea tem a forma (regra padrão para raízes repetidas):
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui expliquei: cada multiplicidade adicional multiplica por um fator
.
Passo 4
Agora vamos buscar uma solução particular
da equação completa
usando o “método dos coeficientes indeterminados”. A ideia é supor uma forma para
com parâmetros que ajustaremos.
Observação importante (ressonância): normalmente, para um termo do tipo
do lado direito, tomamos como tentativa
. Se
for raiz da equação característica, há ressonância e então multiplicamos por potências de
suficientes. Aqui o lado direito é
, que corresponde a
. A raiz
NÃO é raiz da característica (que tem raiz
), logo NÃO há ressonância. Portanto a forma de tentativa é
onde
é uma constante indeterminada.
Passo 5
Calculemos
e
para substituir na equação e determinar
.
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Calculemos o coeficiente numérico dentro do parêntese:
Então a substituição dá
Igualando os coeficientes (podemos dividir por
, que nunca é zero), obtemos
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
Uma explicação rápida de por que isso funciona: aplicamos o operador linear
a
e determinamos
de modo que
.
Passo 8
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
Substituindo as expressões que já obtivemos:
onde
e
são constantes arbitrárias.