Utilizando o Método de Descartes, determine o quociente e o resto da divisão de p(x)=x^{4}+2 x^{3}-x-2 por d(x)=x^{3}-1. Determine também p(x)+d(x), p(x) \cdot d(x) e dê o grau de p+d e p \cdot d.

Passo 1

O enunciado dá
p(x)=x^{4}+2x^{3}-x-2
e
d(x)=x^{3}-1
e pede, usando divisão de polinômios (método de Descartes), o quociente e o resto de p(x)\div d(x). Depois, quer p(x)+d(x), p(x)\cdot d(x) e os graus de p+d e de p\cdot d. Precisaremos então de: divisão longa de polinômios, soma e produto de polinômios e cálculo de grau.

Passo 2

Dividindo p(x) por d(x) com divisão longa:
  1. x^{4}/x^{3}=x. Multiplicando d(x) por x obtemos x^{4}-x.
  2. Subtraindo de p(x):
(x^{4}+2x^{3}+0x^{2}-x-2)\;-\;(x^{4}-x) =2x^{3}+0x^{2}+0x-2.
  1. 2x^{3}/x^{3}=2. Multiplicando d(x) por 2 2x^{3}-2.
  2. Subtraindo:
(2x^{3}+0x^{2}+0x-2)\;-\;(2x^{3}-2)=0.
Logo o quociente é
q(x)=x+2
e o resto é
r(x)=0.

Passo 3

Agora p(x)+d(x):
p(x)+d(x) =(x^{4}+2x^{3}-x-2)+(x^{3}-1) =x^{4}+3x^{3}-x-3.

Passo 4

Em seguida o produto p(x)\cdot d(x):
(x^{4}+2x^{3}-x-2)(x^{3}-1) =x^{7}+2x^{6}-2x^{4}-4x^{3}+x+2.

Passo 5

Os graus são:
\deg\bigl(p(x)+d(x)\bigr)=4 (maior expoente em x^{4}+3x^{3}-x-3).
\deg\bigl(p(x)\cdot d(x)\bigr)=7 (maior expoente em x^{7}+2x^{6}-2x^{4}-4x^{3}+x+2).

Resposta

Quociente: x+2
Resto: 0 p(x)+d(x)=x^{4}+3x^{3}-x-3 com grau 4 p(x)\cdot d(x)=x^{7}+2x^{6}-2x^{4}-4x^{3}+x+2 com grau 7

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