Utilizando o Método de Descartes, determine a e b de modo que p(x)=x^{3}+ a x^{2}+b x+20 seja divisível por d(x)=x^{2}+x+5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes a e b tais que o polinômio
p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+20
seja divisível por
d(x)=x^{2}+x+5.
O conteúdo é divisibilidade de polinômios e vamos usar o método de coeficientes indeterminados, também conhecido como “método de Descartes” para polinômios: supondo que o quociente seja um polinômio de grau 1, igualamos a multiplicação ao polinômio dado e obtemos um sistema para a e b.

Passo 2

Como d(x) é de grau 2, se p(x) for divisível por d(x), o quociente q(x) deve ser de grau 1. Logo, escrevemos
q(x)=x+c,
com c desconhecido, e impomos
p(x)=d(x)\,q(x).

Passo 3

Multiplicando
(x^{2}+x+5)\,(x+c)
temos
(x^{2}+x+5)(x+c) = x^{3}+(c+1)x^{2}+(c+5)x+5c.

Passo 4

Comparando com
p(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+20,
vemos que os coeficientes devem coincidir:
a = c+1,\quad b = c+5,\quad 20 = 5c.
Da última igualdade vem
5c = 20 \quad\Longrightarrow\quad c = 4.

Passo 5

Substituindo c=4 em a = c+1 e b = c+5, obtemos
a = 4 + 1 = 5, \qquad b = 4 + 5 = 9.

Resposta

a=5 e b=9.

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