Mostre que os polinômios f=\left(x^{2}+\sqrt{2} x+1\right)\left(x^{2}-\sqrt{2} x+1\right) e g=x^{4}+1 são iguais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
f(x)=\bigl(x^{2}+\sqrt{2}\,x+1\bigr)\bigl(x^{2}-\sqrt{2}\,x+1\bigr)
e
g(x)=x^{4}+1
são iguais. O conteúdo principal aqui é multiplicação de polinômios e a aplicação da identidade da diferença de quadrados (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.

Passo 2

No produto que define f(x), observe que podemos agrupar termos assim:
f(x) =\bigl((x^{2}+1)+\sqrt{2}\,x\bigr)\,\bigl((x^{2}+1)-\sqrt{2}\,x\bigr),
onde fazemos a identificação
a = x^{2}+1, \quad b = \sqrt{2}\,x.
Logo
f(x) = (a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}.

Passo 3

Calculemos separadamente a^{2} e b^{2}:
a^{2} = (x^{2}+1)^{2} = x^{4} + 2x^{2} + 1,
b^{2} = (\sqrt{2}\,x)^{2} = 2x^{2}.

Passo 4

Substituindo em a^{2}-b^{2}, temos
f(x) = a^{2}-b^{2} = \bigl(x^{4} + 2x^{2} + 1\bigr) - 2x^{2} = x^{4} + 1.
Isso coincide exatamente com g(x).

Resposta

f(x) = g(x).

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