Utilizando o método do fator integrante, encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A equação diferencial dada é
. - A tarefa é encontrar a solução geral dessa equação usando o método do fator integrante.
- Informação útil extra (que vem direto do enunciado): os coeficientes são constantes — o termo multiplicando
é e o termo do lado direito é .
Passo 2
Entendendo o método do fator integrante (a ideia passo a passo, simples e prática).
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui
é o coeficiente que multiplica
.
- O fator integrante
é definido por
- Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação por
obtemos
Mas a derivada do produto
é
Se escolhermos
tal que
(isto é exatamente satisfeito por
), então a parte da esquerda vira a derivada exata
. Assim conseguimos integrar facilmente ambos os lados e resolver para
.
- Observação prática: constantes adicionadas na primitiva de
só multiplicam por uma constante; isso não muda a solução final (apenas renomeamos a constante de integração depois).
Passo 3
Identificando
e calculando o fator integrante para a nossa equação.
- A equação é
, portanto (constante) e . - Calculamos o fator integrante:
Expliquei: a integral de
em relação a
é
. Não precisamos escrever constante aqui.
Passo 4
Multiplicando a equação pelo fator integrante e identificando a derivada exata.
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
Logo a equação fica
Passo 5
Integrando ambos os lados para obter
.
- Integramos em
:
- A integral do lado esquerdo simplesmente dá
. No lado direito, usamos a regra da integral de exponencial: . Assim,
onde
é a constante de integração.
- Portanto obtemos
Passo 6
Isolando
e escrevendo a solução geral.
- Dividimos ambos os lados por
(que nunca é zero) para encontrar :
- Aqui
é uma constante arbitrária real (a constante de integração). Podemos reconhecer que a solução é a soma da solução particular constante e da solução geral da homogênea .
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): substituir de volta na equação original.
- Calcule a derivada de
:
- Substituindo em
:
confirma que a solução satisfaz a equação dada.