Utilizando o método do fator integrante, encontre a solução geral da equação diferencial
\frac{d y}{d x}+2 y=6

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A equação diferencial dada é \displaystyle \frac{d y}{d x}+2 y=6.
  • A tarefa é encontrar a solução geral dessa equação usando o método do fator integrante.
  • Informação útil extra (que vem direto do enunciado): os coeficientes são constantes — o termo multiplicando y é 2 e o termo do lado direito é 6.

Passo 2

Entendendo o método do fator integrante (a ideia passo a passo, simples e prática).
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui P(x) é o coeficiente que multiplica y.
  • O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
  • Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x).
Mas a derivada do produto \mu(x)y é
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y.
Se escolhermos \mu tal que \mu'(x)=\mu(x)P(x) (isto é exatamente satisfeito por \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}), então a parte da esquerda vira a derivada exata \frac{d}{dx}(\mu y). Assim conseguimos integrar facilmente ambos os lados e resolver para y.
  • Observação prática: constantes adicionadas na primitiva de P(x) só multiplicam \mu por uma constante; isso não muda a solução final (apenas renomeamos a constante de integração depois).

Passo 3

Identificando P(x) e calculando o fator integrante para a nossa equação.
  • A equação é \displaystyle \frac{dy}{dx}+2y=6, portanto P(x)=2 (constante) e Q(x)=6.
  • Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Expliquei: a integral de 2 em relação a x é 2x. Não precisamos escrever constante aqui.

Passo 4

Multiplicando a equação pelo fator integrante e identificando a derivada exata.
  • Multiplicando ambos os lados por e^{2x}:
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=6e^{2x}.
  • Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{2x}y, porque
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=6e^{2x}.

Passo 5

Integrando ambos os lados para obter e^{2x}y.
  • Integramos em x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx=\int 6e^{2x}\,dx.
  • A integral do lado esquerdo simplesmente dá e^{2x}y. No lado direito, usamos a regra da integral de exponencial: \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}. Assim,
\int 6e^{2x}\,dx = 6\cdot\frac{1}{2}e^{2x}+C = 3e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Portanto obtemos
e^{2x}y = 3e^{2x}+C.

Passo 6

Isolando y e escrevendo a solução geral.
  • Dividimos ambos os lados por e^{2x} (que nunca é zero) para encontrar y:
y = 3 + C e^{-2x}.
  • Aqui C é uma constante arbitrária real (a constante de integração). Podemos reconhecer que a solução é a soma da solução particular constante 3 e da solução geral da homogênea \displaystyle C e^{-2x}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): substituir de volta na equação original.
  • Calcule a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = -2C e^{-2x}.
  • Substituindo em \frac{dy}{dx}+2y:
-2C e^{-2x} + 2\big(3 + C e^{-2x}\big) = -2C e^{-2x} + 6 + 2C e^{-2x} = 6,
confirma que a solução satisfaz a equação dada.

Resposta

\displaystyle y=3+Ce^{-2x}

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